Sorprendentemente, esto no es casualidad. La razón detrás de esto es el hecho de que [math] \ mathcal {O} _K = \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} \ right] [/ math] tiene un valor único factorización prima. Puede verificar esto usando la fórmula del número de clase o simplemente confiar en Wikipedia en este caso.
Una vez que sepa esto, puede probar que este polinomio debe ser primo para todo el rango de enteros entre -41 y 41. Esto es una consecuencia del hecho más profundo de que no puede ser divisible por ninguno de los números primos en este rango, ¡siempre!
Primero, reconocemos que [math] \ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} [/ math] es el elemento de la norma más pequeña (que no es un número entero), que tiene la norma 41.
Ahora tome una prima racional [matemáticas] p <41 [/ matemáticas], y considere la factorización del ideal [matemáticas] \ langle p \ rangle [/ matemáticas]. Este debe ser un ideal principal: si no lo fuera, se factorizaría como [math] \ langle p \ rangle = \ mathfrak {p} ^ 2 [/ math] o [math] \ mathfrak {p} \ overline {\ mathfrak {p}} [/ math] donde [math] \ mathfrak {p} [/ math] es un ideal principal. En aras de la contradicción, supongamos que sí factoriza de esta manera. Como [math] N (\ langle p \ rangle) = p ^ 2 [/ math] vemos que [math] \ mathfrak {p} [/ math] debería tener la norma [math] p [/ math] – siendo principal (recuerde , PID) contiene un elemento de la norma [matemáticas] p [/ matemáticas] y tenemos una contradicción por nuestra observación anterior ya que este elemento no puede ser un número entero.
Por lo tanto, [matemáticas] \ langle p \ rangle [/ matemáticas] es un ideal primordial. Esto significa que [math] \ mathcal {O} _K / \ langle p \ rangle [/ math] es un campo, ya que los ideales primos son máximos (en este contexto). Aquí es donde entra su polinomio: tenemos un isomorfismo [matemático] \ matemático {O} _K \ cong \ mathbb {Z} [x] / (x ^ 2-x + 41) [/ matemático], ya que el polinomio es El polinomio mínimo de [matemáticas] \ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, el hecho de que [math] \ mathcal {O} _K / \ langle p \ rangle [/ math] es un campo es equivalente a decir [math] (x ^ 2-x + 41) [/ math] es irreducible [matemáticas] \ mathbb {F} _p [/ matemáticas]. Tenemos una cuadrática, por lo que esto solo dice que no tiene módulo de raíces [math] p [/ math] o que nunca es divisible por [math] p [/ math].
Por lo tanto, el polinomio nunca es divisible por un primo [matemático] <41 [/ matemático]. Esto limita mucho sus opciones, por lo que a menudo es primo.
