¿Por qué [math] f (n) = n ^ 2-n + 41 [/ math] produce tantos números primos (aproximadamente el 22% de los números son primos para [math] n \ leq 10 ^ 6 [/ math]) ?

Sorprendentemente, esto no es casualidad. La razón detrás de esto es el hecho de que [math] \ mathcal {O} _K = \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} \ right] [/ math] tiene un valor único factorización prima. Puede verificar esto usando la fórmula del número de clase o simplemente confiar en Wikipedia en este caso.

Una vez que sepa esto, puede probar que este polinomio debe ser primo para todo el rango de enteros entre -41 y 41. Esto es una consecuencia del hecho más profundo de que no puede ser divisible por ninguno de los números primos en este rango, ¡siempre!

Primero, reconocemos que [math] \ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} [/ math] es el elemento de la norma más pequeña (que no es un número entero), que tiene la norma 41.

Ahora tome una prima racional [matemáticas] p <41 [/ matemáticas], y considere la factorización del ideal [matemáticas] \ langle p \ rangle [/ matemáticas]. Este debe ser un ideal principal: si no lo fuera, se factorizaría como [math] \ langle p \ rangle = \ mathfrak {p} ^ 2 [/ math] o [math] \ mathfrak {p} \ overline {\ mathfrak {p}} [/ math] donde [math] \ mathfrak {p} [/ math] es un ideal principal. En aras de la contradicción, supongamos que sí factoriza de esta manera. Como [math] N (\ langle p \ rangle) = p ^ 2 [/ math] vemos que [math] \ mathfrak {p} [/ math] debería tener la norma [math] p [/ math] – siendo principal (recuerde , PID) contiene un elemento de la norma [matemáticas] p [/ matemáticas] y tenemos una contradicción por nuestra observación anterior ya que este elemento no puede ser un número entero.

Por lo tanto, [matemáticas] \ langle p \ rangle [/ matemáticas] es un ideal primordial. Esto significa que [math] \ mathcal {O} _K / \ langle p \ rangle [/ math] es un campo, ya que los ideales primos son máximos (en este contexto). Aquí es donde entra su polinomio: tenemos un isomorfismo [matemático] \ matemático {O} _K \ cong \ mathbb {Z} [x] / (x ^ 2-x + 41) [/ matemático], ya que el polinomio es El polinomio mínimo de [matemáticas] \ frac {1+ \ sqrt {-163}} {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, el hecho de que [math] \ mathcal {O} _K / \ langle p \ rangle [/ math] es un campo es equivalente a decir [math] (x ^ 2-x + 41) [/ math] es irreducible [matemáticas] \ mathbb {F} _p [/ matemáticas]. Tenemos una cuadrática, por lo que esto solo dice que no tiene módulo de raíces [math] p [/ math] o que nunca es divisible por [math] p [/ math].

Por lo tanto, el polinomio nunca es divisible por un primo [matemático] <41 [/ matemático]. Esto limita mucho sus opciones, por lo que a menudo es primo.

A2A: ¿Por qué [math] f (n) = n ^ 2-n + 41 [/ math] produce tantos números primos (aproximadamente el 22% de los números son primos para [math] n \ leq 10 ^ 7 [/ math ] )?

Aproximadamente [matemática] \ frac {6} {7} [/ matemática] de todos los números son múltiplos de [matemática] 2, [/ matemática] [matemática] 3, [/ matemática] [matemática] 5, [/ matemática] [ matemática] 7, [/ matemática] [matemática] 11, [/ matemática] [matemática] 13, [/ matemática] [matemática] 17, [/ matemática] [matemática] 19, [/ matemática] [matemática] 23, [ / matemáticas] [matemáticas] 29, [/ matemáticas] [matemáticas] 31, [/ matemáticas] o [matemáticas] 37. [/ matemáticas] Esto significa que [matemáticas] \ frac {6} {7} [/ matemáticas] de todos los números no son primos en virtud de tener uno de estos pequeños divisores primos. Sin embargo, ninguno de los valores de [math] n ^ 2-n + 41 [/ math] es divisible por ninguno de estos números primos pequeños. Entonces, la densidad de los números primos entre los valores de [matemáticas] n ^ 2-n + 41 [/ matemáticas] es aproximadamente [matemática] 7 [/ matemáticas] veces la densidad que cabría esperar de un muestreo aleatorio de números.

Aquí hay una tabla que muestra los residuos de [math] n ^ 2-n + 41, [/ math] modulo estos pequeños números primos:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |} \! n \! & \! 2 \! & \! 3 \! & \! 5 \! & \! 7 \! & \! 11 \! & \! 13 \! & \! 17 \! & \! 19 \! & \! 23 \! & \! 29 \! & \! 31 \! & \! 37 \! \\ \ hline \! 0 \! & \! 1 \! & \! 2 \! & \! 1 \! & \! 6 \! & \! 8 \! & \! 2 \! & \! 7 \! & \! 3 \! & \! 18 \! & \! 12 \! & \! 10 \! & \! 4 \! \\ \ hline \! 1 \! & \! 1 \! & \! 2 \! & \! 1 \! & \! 6 \! & \! 8 \! & \! 2 \! & \! 7 \! & \! 3 \! & \! 18 \! & \! 12 \! & \! 10 \! & \! 4 \! \\ \ hline \! 2 \! & & \! 1 \! & \! 3 \! & \! 1 \! & \! 10 \! & \! 4 \! & \! 9 \! & \! 5 \! & \! 20 \! & \! 14 \! & \! 12 \! & \! 6 \! \\ \ hline \! 3 \! & & & \! 2 \! & \! 5 \! & \! 3 \! & \! 8 \! & \! 13 \! & \! 9 \! & \! 1 \! & \! 18 \! & \!dieciséis\! & \! 10 \! \\ \ hline \! 4 \! & & & \! 3 \! & \! 4 \! & \! 9 \! & \! 1 \! & \! 2 \! & \!15\! & \! 7 \! & \! 24 \! & \! 22 \! & \! 16 \! \\ \ hline \! 5 \! & & & & \! 5 \! & \! 6 \! & \! 9 \! & \! 10 \! & \! 4 \! & \!15\! & \! 3 \! & \! 30 \! & \! 24 \! \\ \ hline \! 6 \! & & & & \! 1 \! & \! 5 \! & \! 6 \! & \! 3 \! & \! 14 \! & \! 2 \! & \! 13 \! & \! 9 \! & \! 34 \! \\ \ hline \! 7 \! & & & & & \! 6 \! & \! 5 \! & \!15\! & \! 7 \! & \! 14 \! & \! 25 \! & \! 21 \! & \! 9 \! \\ \ hline \! 8 \! & & & & & \! 9 \! & \! 6 \! & \! 12 \! & \! 2 \! & \! 5 \! & \! 10 \! & \! 4 \! & \! 23 \! \\ \ hline \! 9 \! & & & & & \! 3 \! & \! 9 \! & \! 11 \! & \! 18 \! & \! 21 \! & \! 26 \! & \! 20 \! & \! 2 \! \\ \ hline \! 10 \! & & & & & \! 10 \! & \! 1 \! & \! 12 \! & \! 17 \! & \!dieciséis\! & \!15\! & \! 7 \! & \! 20 \! \\ \ hline \! 11 \! & & & & & & \! 8 \! & \!15\! & \! 18 \! & \! 13 \! & \! 6 \! & \! 27 \! & \! 3 \! \\ \ hline \! 12 \! & & & & & & \! 4 \! & \! 3 \! & \! 2 \! & \! 12 \! & \! 28 \! & \! 18 \! & \! 25 \! \\ \ hline \! 13 \! & & & & & & & \! 10 \! & \! 7 \! & \! 13 \! & \! 23 \! & \! 11 \! & \! 12 \! \\ \ hline \! 14 \! & & & & & & & \! 2 \! & \! 14 \! & \!dieciséis\! & \! 20 \! & \! 6 \! & \! 1 \! \\ \ hline \! 15 \! & & & & & & & \! 13 \! & \! 4 \! & \! 21 \! & \! 19 \! & \! 3 \! & \! 29 \! \\ \ hline \! 16 \! & & & & & & & \! 9 \! & \!15\! & \! 5 \! & \! 20 \! & \! 2 \! & \! 22 \! \\ \ hline \! 17 \! & & & & & & & & \! 9 \! & \! 14 \! & \! 23 \! & \! 3 \! & \! 17 \! \\ \ hline \! 18 \! & & & & & & & & \! 5 \! & \! 2 \! & \! 28 \! & \! 6 \! & \! 14 \! \\ \ hline \! 19 \! & & & & & & & & & \!15\! & \! 6 \! & \! 11 \! & \! 13 \! \\ \ hline \! 20 \! & & & & & & & & & \! 7 \! & \!15\! & \! 18 \! & \! 14 \! \\ \ hline \! 21 \! & & & & & & & & & \! 1 \! & \! 26 \! & \! 27 \! & \! 17 \! \\ \ hline \! 22 \! & & & & & & & & & \! 20 \! & \! 10 \! & \! 7 \! & \! 22 \! \\ \ hline \! 23 \! & & & & & & & & & & \! 25 \! & \! 20 \! & \! 29 \! \\ \ hline \! 24 \! & & & & & & & & & & \! 13 \! & \! 4 \! & \! 1 \! \\ \ hline \! 25 \! & & & & & & & & & & \! 3 \! & \! 21 \! & \! 12 \! \\ \ hline \! 26 \! & & & & & & & & & & \! 24 \! & \! 9 \! & \! 25 \! \\ \ hline \! 27 \! & & & & & & & & & & \! 18 \! & \! 30 \! & \! 3 \! \\ \ hline \! 28 \! & & & & & & & & & & \! 14 \! & \! 22 \! & \! 20 \! \\ \ hline \! 29 \! & & & & & & & & & & & \!dieciséis\! & \! 2 \! \\ \ hline \! 30 \! & & & & & & & & & & & \! 12 \! & \! 23 \! \\ \ hline \! 31 \! & & & & & & & & & & & & \! 9 \! \\ \ hline \! 32 \! & & & & & & & & & & & & \! 34 \! \\ \ hline \! 33 \! & & & & & & & & & & & & \! 24 \! \\ \ hline \! 34 \! & & & & & & & & & & & & \! 16 \! \\ \ hline \! 35 \! & & & & & & & & & & & & \! 10 \! \\ \ hline \! 36 \! & & & & & & & & & & & & \! 6 \! \\ \ hline \ end {array} \ tag * {} [/ math]

El enrejado en espiral cuadrado se presta para colocar los números primos en las esquinas porque todos los números primos> 2 son impares y la longitud de los cuadrados siempre es impar,
la esquina comienza en impar y termina en impar. Entonces tienes cero posibilidades de un número par en la esquina.

Nosotros como seres estamos diseñados para reconocer patrones y aplicarles significado.

Desafortunadamente, esto se traslada a lugares donde puede parecer que solo hay patrones debido a alguna configuración o disposición y nuestros cerebros aún hacen clic en la ‘cosa del patrón’ de todos modos, aunque sabemos que está configurado. Los patrones visuales son evocadores para nosotros, incluso si su verdadero significado solo está en nuestras mentes.

(fuente: wikipedia)

Chico, esto parece algo increíble y útil, ¿no? OK, entonces úsalo.

¡Uy! es solo una coincidencia del universo, uno de muchos. Ni siquiera son todos los primos, es solo la salida de un cierto polinomio que da números enteros
Simplemente tiene más números primos en números más bajos que otros.

Hablando de ver patrones donde realmente no están allí,

No hay pruebas de que el universo sea discreto.

Estoy diciendo que el concepto de números enteros en sí mismo puede no existir en el universo como fundamental.

Puede ser un concepto que usamos para simplificar la interacción con nuestra propia existencia.

El universo en sí puede no tener leyes matemáticas reales sobre números enteros.
El hecho de que pensemos en términos de 1, 2, 3, … no significa que el universo opera en términos de 1, 2, 3, …

El universo en sí no tiene necesidad de simplificarse, simplemente lo es.

Y quizás la noción de números enteros discretos de cosas no es parte de ella.

Por lo tanto, lo principal puede ser el efecto secundario del sistema numérico de números enteros discretos que hemos inventado, no un fundamento de los fundamentos matemáticos reales del universo.

¡Psicoanalizar!

Una posible razón sería porque n ^ 2-n + 41 no es divisible por ninguno de estos factores primos: 2,3,5,7,11, …, 37 (La explicación es bastante profunda en la teoría de números. Para probar esto, Tendrás que usar los símbolos Legendre). Dado que estos factores primos son los factores más comúnmente encontrados en un número compuesto, podemos ver que es poco probable que un número de esta forma sea compuesto.

Según tengo entendido, esto se debe a que el discriminante negado de este polinomio es 4 * 41 – 1 = 163, que es un número de Heegner. Todavía no conozco los detalles más allá de eso (algún día seguramente lo sabré, pero el tiempo es limitado y las obligaciones se acumulan, y gracias a esta excusa, todavía no he aprendido todo …), pero mientras tanto, esto puede ser de uso para buscar más información.

41 es un número primo. Para que esta función factorice, necesita dos números que sumen para hacer -1 y se multipliquen para hacer 41. Desafortunadamente, no existe ese número.

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Si [matemática] j [/ matemática], [matemática] k [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son ​​enteros consecutivos tales que [matemática] 0 <j <k <n [/ matemática] y [matemática ] jn = 9 [/ math], entonces, ¿cuál es / son los valores posibles de [math] k [/ math]?