¿Cuál es el significado de la transformación de Laplace?

Answer 1

Estrictamente hablando, la Transformada de Laplace se define como tal:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt [/ matemáticas]

“Wow”, podrías decir. “¿Por qué es útil?” Y usted podría tener razón al respecto. Hablemos de algunas cosas.

Observe que esta integral es una función en s, por lo que llamaremos a la transformada de Laplace de f (t) F (s), por compacidad. Ahora, esa integral puede o no parecer difícil de evaluar en realidad (con suerte no es difícil porque está preguntando sobre el significado y no lo que realmente es), pero podemos tomar transformaciones de Laplace de cualquier función antigua y obtener algunas F (s) fuera:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {ct} e ^ {- st} \, dt = \ frac {1} {sc}, Re (sc)> 0 [/ matemáticas]

y al utilizar [math] Re (e ^ {it}) [/ math] y [math] Im (e ^ {it}) [/ math], podemos obtener sin (t) y cos (t) y un todo Un montón de Laplace se transforma de divertirse. Se pone especial interés en investigar la transformada de Laplace de derivados de f (t), y trataremos de hacer una aquí, usando un poco de trucos que recuerdan nuestros días de integración por partes:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} f ‘(t) e ^ {- st} \, dt = \ int_0 ^ {\ infty} [f (t) e ^ {- st}]’ + sf (t) e ^ {- st} \, dt = sF (s) – f (0) [/ math]

hacer la transformación de Laplace en derivados de orden superior es simplemente encadenar esta técnica. Con suerte, lo que verá es que ahora, cuando miramos las ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante (homogéneas o no homogéneas) como esta:

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x [/ matemáticas]

podemos tomar la transformada de Laplace:

[matemáticas] sX (s) – x (0) = X (s) [/ matemáticas]

y mira que en X (s) -land, ¡esto es lineal! Resuelva para X (s) e invierta (mediante inspección o con la ayuda de Bromwich para cosas más difíciles para el general), y obtendrá su respuesta familiar, [matemáticas] x (t) = x (0) e ^ {t }[/matemáticas]

El uso de transformadas de Laplace se valora en la ingeniería y en la resolución general de ecuaciones diferenciales debido a su utilidad, no solo en la resolución de ecuaciones diferenciales simples como esta, sino también en la resolución de ecuaciones diferenciales que involucran dos o más derivados (¡¡¡¡¡¡¡!!!!!) con inhomogeneidades (woah !!!) Por supuesto, para llegar a cosas carnosas podríamos definir la Función de Paso Heaviside o la “Función” de Dirac Delta, útil para definir términos forzados e impulsos instantáneos, y encontrar sus transformadas de Laplace. También existe la transformación de Laplace en general funciones periódicas (particularmente útil en ingeniería eléctrica, cuando existen ondas cuadradas y dientes de sierra y tal. Aquí hay MUCHAS transformaciones de Laplace. Otros libros incluso tienen enormes apéndices para transformaciones de Laplace no solo de funciones, sino también literalmente solo gráficos periódicos .)

Nosotros (mi maravilloso maestro, principalmente) podríamos hacer un pequeño problema como este:

Una masa de 3 está unida a un resorte. La masa comienza en reposo cinco metros a la derecha del punto de equilibrio, y el movimiento resultante tiene una velocidad angular inicial de 3. En t = 2, se aplica un impulso de 3, y en t = 5 a t = 7, un Se aplica una fuerza constante de 4. Todas las medidas están en unidades SI. ¿Cuál es el movimiento resultante?

¿Cómo harías todas las integrales en la variación de parámetros con Heavisides y Diracs flotando? ¿Qué podrías adivinar juiciosamente para sacar ese tipo de inhomogeneidades? Quiero decir que podrías hacerlo de esa manera, pero aún así. Resolver esto es una tarea difícil, pero definitivamente no es una tarea tan difícil con la transformación de Laplace. Como extensión, básicamente todas las profesiones que involucran ecuaciones diferenciales también pueden usar Laplace para resolver ecuaciones.

Answer 2

La transformación de Laplace es una parte esencial de la formación matemática requerida por ingenieros, físicos, matemáticos y otros científicos. Esto se debe a que proporciona medios fáciles y efectivos para la solución de muchos problemas que surgen en diversos campos de la ciencia y la ingeniería.

La transformada de Laplace es un enfoque de dominio de frecuencia para señales de tiempo continuo. Convierte una función de una variable real positiva t (generalmente tiempo) en una función compleja de una variable compleja s (frecuencia).

La transformada de Laplace es particularmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias como las que se encuentran en el análisis de circuitos electrónicos. Dado que la diferenciación e integración se convierten en multiplicación y división por s, la transformación convierte ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales en ecuaciones polinómicas, que son mucho más fáciles de resolver.

Answer 3

La transformación de Laplace es una transformación integral ampliamente utilizada con muchas aplicaciones en física e ingeniería. Le ayudará a resolver la ecuación diferencial de orden superior, que es la aplicación más utilizada de la transformada de Laplace. También evalúa problemas integrales de valor límite, resolución de circuitos, etc., como la transformada de Fourier, la transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales e integrales . En física e ingeniería, se utiliza para el análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo, tales como circuitos eléctricos, osciladores armónicos, dispositivos ópticos y sistemas mecánicos también utilizados en el procesamiento de señales para acceder al espectro de frecuencia de la señal en consideración. a continuación cómo resuelve la ecuación de Laplace

Answer 4

1. Una noción particular de estudio de los sistemas de señal radica no solo en estudiar el análisis del dominio del tiempo que es cómo se comporta la señal durante un intervalo de tiempo particular, sino también qué componentes de las señales (también conocidos como componentes de frecuencia con amplitud particular) se encuentran en las señales, es decir , el análisis del dominio de la frecuencia . El análisis de frecuencia nos permite estudiar qué componentes de frecuencia se van a agregar o qué magnitud se debe cambiar para llevar el sistema a una respuesta de frecuencia particular (frecuencia natural del sistema) o fase
2. Cuando estudiamos cómo se comportará una señal de salida particular f (x) con la función de transferencia del sistema y la señal de entrada h (x) (función de impulso, paso o rampa), usamos Convolución . Pero la convolución es difícil de hacer, en virtud de que gracias a todopoderoso tenemos el teorema básico de que la convolución de 2 señales en el dominio del tiempo es igual a la multiplicación de señales en el dominio de la frecuencia. Y la herramienta para la conversión es la transformación de Fourier
3. Pero como en un mundo práctico nada es ideal y la serie de Fourier solo da respuestas ideales en dominios de frecuencia, necesitamos un factor de amortiguación, y esto lo proporciona Laplace Transform. Por lo tanto, Fourier contiene solo términos imaginarios (Sinusoidal), pero Laplace es real (Exponencial) + Imaginario (término de Fourier)
4. Otra característica de Laplace es que convierte ecuaciones diferenciales no lineales, a veces no homogéneas en formas lineales. Piense en los circuitos RLC en serie, tenemos diferenciales, integrales y términos lineales, todos juntos en una sola ecuación. Esto puede ser fácil, pero los circuitos complejos se vuelven difíciles de resolver, pero la ecuación de Laplace hace que el proceso de magia sea muy simple

Answer 5

En inglés simple, la transformación de Laplace hace básicamente dos cosas:

1. Transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, haciendo que las ecuaciones diferenciales sean más fáciles de resolver.
2. Nos permite comprender y resolver ecuaciones diferenciales que involucran discontinuidades. Si tenemos alguna ecuación diferencial que involucra una función discontinua o de comportamiento extraño, la transformación de Laplace nos permite resolver una ecuación que de otra manera sería difícil.