Las tres palabras son esencialmente sinónimos. La diferencia radica en la manera y el contexto de su uso.
Reprimir significa mostrar formalmente la desaprobación. No implica ningún grito o uso de lenguaje no profesional. Podría ser por un jefe a un empleado, o un padre y un hijo (en términos de cortesía).
La reprendió por su descuido hacia sus notas.
Reprimir significa lo mismo, excepto en un sentido más severo. Generalmente no se usa profesionalmente. Podría ser entre personas que tienen una conversación informal, como las que hay entre dos personas en una relación.
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Ella lo reprendió por su problema con el juego.
Castigar es muy similar a reprender, excepto que generalmente incluye un consejo. En última instancia, es muy similar a dar una conferencia. Generalmente se usa entre iguales, como marido y mujer, o entre colegas.
Reprendió a su amigo por no centrarse en el juego y ser una responsabilidad para el equipo.
EDITAR: Al ser preguntado, incluí una oración de ejemplo para cada palabra.