Cómo demostrar que 8 divide [matemáticas] 5 ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 [/ matemáticas]

El punto crucial es que:

[matemática] 5 ^ n \ equiv 1 \ mod 8 [/ matemática], si [matemática] n [/ matemática] es par;
[matemática] 5 ^ n \ equiv 5 \ mod 8 [/ matemática], si [matemática] n [/ matemática] es impar.

¿Cómo se esto? Bueno, [matemáticas] 5 ^ 1 \ equiv 5 \ mod 8 [/ matemáticas], por supuesto. [matemáticas] 5 ^ 2 \ equiv 25 \ equiv 1 \ mod 8 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] 5 ^ 3 \ equiv 5 \ times 1 \ equiv 5 \ mod 8 [/ math]. Y así.

(Aquí, la notación [math] a \ equiv b \ mod m [/ math] significa [math] (ab) [/ math] es divisible por [math] m [/ math]).

Del mismo modo, se puede demostrar que

[matemática] 3 ^ n \ equiv 1 \ mod 8 [/ matemática], si [matemática] n [/ matemática] es par;
[matemática] 3 ^ n \ equiv 3 \ mod 8 [/ matemática], si [matemática] n [/ matemática] es impar.

Ahora suponga que [math] n [/ math] es impar. Entonces [matemáticas] 5 ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 \ equiv 1 + 2 (3) + 1 \ equiv 8 \ equiv 0 \ mod 8 [/ matemáticas].

Por otro lado, si [matemática] n [/ matemática] es par, entonces [matemática] 5 ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 \ equiv 5+ 2 (1) + 1 \ equiv 8 \ equiv 0 \ mod 8 [/ math].

Entonces, la expresión [matemática] 5 ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 8 [/ matemática] para todos [matemática] n \ in \ mathbb {N} [/matemáticas].

Tenemos que demostrar que [matemáticas] 5 ^ {n + 1} + 2 * 3 ^ n + 1 \ equiv 0 [/ matemáticas] (mod 8).

Eso es lo mismo que,

[matemáticas] 5 ^ {n + 1} + 2 * 3 ^ n \ equiv 7 [/ matemáticas] (mod 8)

[matemática] prueba [/ matemática]

Caso 1: [matemáticas] n [/ matemáticas] es par

Si [math] n [/ math] es par, podemos escribir [math] n = 2k [/ math] para algún número entero [math] k [/ math]. Entonces,

[matemáticas] 2 * 3 ^ n \ equiv 2 * 3 ^ {2k} \ equiv 2 * (3 ^ 2) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 2 * 9 ^ k \ equiv 2 * 1 ^ k \ equiv 2 [/ matemáticas] (mod 8)

y

[matemáticas] 5 ^ {n + 1} \ equiv 5 ^ {2k + 1} \ equiv 5 * 5 ^ {2k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 5 * (5 ^ 2) ^ k \ equiv 5 * 25 ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 5 * 1 ^ k \ equiv 5 [/ matemáticas] (mod 8)

Por lo tanto,

[matemáticas] 5 ^ {n + 1} + 2 * 3 ^ n \ equiv 2 + 5 \ equiv 7 [/ matemáticas] (mod 8)

Caso 2: [matemáticas] n [/ matemáticas] es impar

Si [math] n [/ math] es impar, podemos escribir [math] n = 2k + 1 [/ math] para algún número entero [math] k [/ math]. Entonces,

[matemáticas] 2 * 3 ^ n \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] 2 * 3 ^ {2k + 1} \ equiv 6 * (3 ^ 2) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 6 * 9 ^ k \ equiv 6 * 1 ^ k \ equiv 6 [/ matemáticas] (mod 8)

y

[matemáticas] 5 ^ {n + 1} \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] 5 ^ {2k + 2} \ equiv (5 ^ 2) ^ {k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 25 ^ {k + 1} \ equiv 1 ^ {k + 1} \ equiv 1 [/ matemáticas] (mod 8)

Por lo tanto,

[matemáticas] 5 ^ {n + 1} + 2 * 3 ^ n \ equiv 6 + 1 \ equiv 7 [/ matemáticas] (mod 8)

Como [math] 5 ^ {n + 1} + 2 * 3 ^ n + 1 \ equiv 0 [/ math] (mod 8) cuando [math] n [/ math] es par e impar, debe ser cierto para todo [matemáticas] n [/ matemáticas]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Usaré la prueba por inducción.

Explicación: f (1) es divisible por 8. Luego se muestra que la diferencia entre f (k + 1) yf (k) es 8N, que es divisible por 8. Dado que 8N yf (k) son divisibles por 8 , su suma que es f (k + 1) también es divisible por 8. Por lo tanto, f (n) es divisible por 8 para todos los enteros positivos de n.

Tenga en cuenta que, 5 mod 8 = 5 y 5 ^ 2 mod 8 = 1.

Esto significa que para potencias impares de 5, el resto será 5 y para potencias restantes el resto será 1 cuando se divida entre 8.

Del mismo modo, 3 mod 8 = 3 y 3 ^ 2 mod 8 = 1.

La misma observación es válida para 3 también.

Ahora, para cualquier n, si la potencia de 5 es par, entonces la potencia de 3 es impar y si la potencia de 5 es impar, entonces la potencia de 3 es par.

Caso 1: n par ==> la potencia de 5 es impar y la potencia de 3 es par.

Por lo tanto, 5 ^ (n + 1) mod 8 = 5 y 3 ^ n mod 8 = 1

Por lo tanto, {5 ^ (n + 1) + 2 * 3 ^ n + 1} mod 8 = (5 + 2 + 1) mod 8 = 0.

Caso 2: n impar ==> la potencia de 5 es par y la potencia de 3 es impar.

Por lo tanto, 5 ^ (n + 1) mod 8 = 1 y 3 ^ n mod 8 = 3

Por lo tanto, {5 ^ (n + 1) + 2 * 3 ^ n + 1} mod 8 = (1 + 2 * 3 + 1) mod 8 = 0.

Esto demuestra.

Dado que [matemáticas] 3 ^ 2 \ equiv 5 ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {8} [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ {2k} \ equiv 5 ^ {2k} \ equiv 1 \ pmod {8} [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] 3 ^ {2k + 1} \ equiv 3 \ pmod {8} [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ {2k + 1} \ equiv 5 \ pmod {8} [/ matemáticas].

Si [math] n [/ math] es par , [math] 5 ^ {n + 1} + (2 \ cdot 3 ^ n) +1 \ equiv 5 + 2 + 1 \ equiv 0 \ pmod {8} [/ matemáticas].

Si [math] n [/ math] es impar , [math] 5 ^ {n + 1} + (2 \ cdot 3 ^ n) +1 \ equiv 1+ (2 \ cdot 3) +1 \ equiv 0 \ pmod {8} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Incluso se puede aplicar la expansión binomial para probar esto. Escriba [math] 5 [/ math] como [math] (8–3) [/ math] y amplíelo usando series binomiales. El término final [matemática] (- 3) ^ n + 1 [/ matemática]

Así la expresión dada se convertiría en

[matemática] a \, número \, divisible \, por \, 8 \, + \, (-3) ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 [/ matemática]

Por lo tanto, el resto [matemática] (- 3) ^ {n + 1} +2 (3 ^ n) +1 [/ matemática] solo debe ser atendido ahora. Consideremos los siguientes casos

Caso 1: Si n es par [matemáticas], [/ matemáticas]

[matemática] Sea [/ matemática] [matemática] n = 2m [/ matemática]

[matemáticas] (- 3) ^ {n + 1} = (-1) .3 ^ {2m + 1} = -3 * (3 ^ {2m}) [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en la primera ecuación y simplificando,

[matemáticas] – (3 ^ n-1) \, mod \, 8 = (3 ^ {2m} -1) \, mod \, 8 = (9 ^ m-1 ^ m) \, mod \, (9 -1) = 0 [/ matemáticas]

Caso 2: Si n es impar [matemática], [/ matemática]

[matemáticas] Sea [/ matemáticas] [matemáticas] n = 2m + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 3) ^ {n + 1} = 3 ^ {2m + 2} = 3 * (3 ^ {2m}) [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en la primera ecuación y simplificando,

[matemáticas] (5 (3 ^ n) +1) \, mod \, 8 = ((8-3) 3 ^ n + 1) \, mod \, 8 = (3 ^ {n + 1} -1) \, mod \, 8 = (9 ^ {m + 1} -1 ^ {m + 1}) /, mod /, (9-1) = 0 [/ math]

Este puede ser probado por inducción.

Demuestre que es cierto para n = 1, suponga que es cierto para n = k y luego demuestre que es cierto para n = k + 1.

Para n = 1, 5 ^ (1 + 1) +2 (3 ^ 1) = 32, que es divisible por 8.

Entonces, es cierto para n = 1

Ahora suponga que es cierto para n = k, entonces 8 divide 5 ^ (k + 1) +2 (3 ^ k) +1.

Para n = k + 1, tenemos 5 ^ ((k + 1) +1) +2 (3 ^ (k + 1)) + 1 = 5 (5 ^ (k + 1)) + 2 (3 (3 ^ k)) + 1.

Por lo tanto, 8 divide 5 ^ (n + 1) +2 (3 ^ n) +1 para n = k + 1, por lo tanto para todo n.

Deje que [matemáticas] T_ {n} = 5 ^ {n + 1} + 2 (3 ^ {n}) + 1 [/ matemáticas]

Reste [math] T_ {n-1} [/ math] de [math] T_ {n} [/ math] se obtiene

[matemáticas] T_ {n} – T_ {n-1} = 4 (5 ^ {n} + 3 ^ {n-1}) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] 5 ^ {n} [/ math] y [math] 3 ^ {n-1} [/ math] ambos son impares para todos [math] n \ ge 1 [/ math]. Entonces

[matemáticas] T_ {n} – T_ {n-1} \ equiv 0 \ mod 8 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] T_ {n} \ equiv T_ {n-1} \ mod 8 [/ matemáticas]

Dado que [matemáticas] T_ {0} = 5 ^ {1} + 2 (3 ^ {0}) + 1 = 8 [/ matemáticas] o [matemáticas] T_ {0} \ equiv 0 \ mod 8 [/ matemáticas]

se puede inferir [matemáticas] T_ {n} \ equiv 0 \ mod 8 [/ matemáticas]

Definamos F ( n ) = 5 ^ ( n +1) + 2 * 3 ^ n +1 . Entonces F (0) = 5 + 2 + 1 , lo que significa que F (0) es un múltiplo de 8 . Supongamos ahora que para algunos n F ( n ) es un múltiplo de n .

F ( n +1) – F ( n ) = (5 ^ ( n +2) + 2 * 3 ^ ( n +1) +1) – (5 ^ ( n +1) + 2 * 3 ^ n +1 )
= (5 * 5 ^ ( n +1) + 6 * 3 ^ n +1) – (5 ^ ( n +1) + 2 * 3 ^ n +1) =
= (5–1) * 5 ^ ( n +1) + (6–2) * 3 ^ n + (1–1) =
= 4 * 5 ^ ( n +1) + 4 * 3 ^ n = 4 * (5 ^ ( n + 1 ) + 3 ^ n )

Obviamente, este número es un múltiplo de 4 . Tanto 5 ^ ( n + 1 ) como 3 ^ n son números impares; por lo tanto, su suma es par. Por lo tanto, F ( n +1) – F ( n ) es un múltiplo de 8 . Por lo tanto, si F ( n ) es un múltiplo de 8 , entonces F ( n +1) también es un múltiplo de 8 .

5 y 3 son ambos módulo 8 autoinverso, de modo que sus módulos de potencia 8 forman ciclos de longitud 2. Ahora solo necesita verificar que la fórmula es divisible por 8 para algunos valores pares e impares de n, digamos n = 0 yn = 1, que es.

Mediante el uso de sustitución
1. Consideremos n = 0,

el valor de la expresión anterior se convierte,

5 ^ (0 + 1) + 2 * 3 ^ 0 + 1 = 5 ^ 1 + 2 * 1 + 1 = 5 + 2 + 1 = 8 que es divisible por 8

2. sustituyendo n = 1,

5 ^ (1 + 1) + 2 * 3 ^ 1 + 1 = 5 ^ 2 + 2 * 3 + 1 = 25 + 6 + 1 = 32 que es divisible por 8

intentemos algún valor arbitrario para n, consideremos n = 3,

5 ^ (3 + 1) + 2 * 3 ^ 3 + 1 = 5 ^ 4 + 2 * 27 + 1 = 625 + 54 + 1 = 680,

680/8 = 85, eso significa que también es divisible por 8.

Entonces, podemos decir que la expresión dada es divisible por 8.

Gracias.

Avíseme si alguien tiene alguna consulta relacionada con mi explicación.

Usa el hecho de que el cuadrado de cada número impar es uno más un múltiplo de 8.

[matemáticas] (2x + 1) ^ 2 = 4x ^ 2 + 4x + 1 = 4x (x + 1) +1 = 8 y + 1 [/ matemáticas]

Si [math] n [/ math] es par, [math] 3 ^ n [/ math] deja el resto de 1 en la división por 8 y [math] 5 \ cdot 5 ^ n [/ math] deja el resto 5, dando una suma de [matemáticas] 5 + 2 + 1 = 8 [/ matemáticas] para la expresión. Por otro lado, si [math] n [/ math] es impar, [math] 3 \ cdot 3 ^ {n-1} [/ math] deja el resto de 3 en la división entre 8 y [math] 5 ^ n [/ math] deja el resto 1, dando una suma de [math] 1 + 6 + 1 = 8 [/ math]. En ambos casos, la expresión es divisible por 8.

Ues el principio de inducción matemática. si n = 1 es verdadero, suponga que n = k es verdadero si puede probar que n = k + 1 es verdadero, entonces ha demostrado que n es verdadero para todos los enteros positivos.