La función [matemática] e ^ {x ^ 2} [/ matemática] ciertamente tiene una primitiva, es decir, una función [matemática] F [/ matemática] tal que [matemática] F ‘= e ^ {x ^ 2} [/ matemática ] Lo que quiere preguntar es por qué no tiene primitiva elemental , lo que significa que [matemática] F [/ matemática] no se puede escribir utilizando exponentes, registros, funciones trigonométricas, raíces y operaciones aritméticas básicas.
En la escuela, aprendemos a calcular la derivada de cualquier función escrita explícitamente, como [matemáticas] \ sin (\ sqrt {x}) [/ matemáticas] o [matemáticas] \ log (x ^ 3 + e ^ x) [/ matemáticas]. También aprendemos a calcular varias integrales (o “antiderivadas” o “funciones primitivas” o “integrales indefinidas”), como
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx = x – \ tan ^ {- 1} (x) + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ int xe ^ {x ^ 2} dx = \ frac {1} {2} e ^ {x ^ 2} + C [/ matemáticas]
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Este último ejemplo hace que sea natural preguntarse
[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} dx =? [/ matemáticas]
pero esto resulta no tener ninguna expresión cerrada agradable usando funciones familiares. Los maestros a menudo dicen que es “insoluble” o que “no existe” o algo por el estilo. Esto no es exacto.
De hecho, cada función continua, así como muchas funciones que no son continuas, posee una antiderivada. Sin embargo, muchas funciones elementales tienen una antiderivada que en sí misma no es elemental. Esto está en marcado contraste con la situación con las derivadas: si una función es elemental, también lo es su derivada.
La función [matemática] f (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemática] puede escribirse como una serie de potencia, como esta:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + x ^ 2 + \ frac {x ^ 4} {2} + \ frac {x ^ 6} {6} + \ frac {x ^ 8} {24} + \ ldots + \ frac {x ^ {2n}} {n!} + \ ldots [/ math]
Esta serie converge absolutamente para cualquier valor real (o complejo) de [math] x [/ math], y se puede hacer casi cualquier cosa que desee hacer con [math] e ^ {x ^ 2} [/ math] con esta representación de series de poder.
Esta serie de potencia puede integrarse término por término para producir
[matemáticas] \ displaystyle F (x) = x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {10} + \ frac {x ^ 7} {42} + \ ldots + \ frac {x ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)} + \ ldots [/ math]
Esta serie también converge absolutamente en todas partes, y es una función perfectamente fina que satisface [math] F ‘(x) = e ^ {x ^ 2} [/ math]. (Como de costumbre, la función [matemática] F (x) + C [/ matemática] funcionaría igual de bien para cualquier [matemática] C [/ matemática] constante, y esa es toda la libertad que tiene para determinar la antiderivada de [matemática] ] e ^ {x ^ 2} [/ math]).
Por supuesto, si [math] F (x) [/ math] no tiene un nombre “estándar”, nada nos impide darle uno, al igual que elegimos nombres para [math] \ log [/ math] y [ matemáticas] \ sin [/ matemáticas] y así sucesivamente. De hecho, hay un nombre estándar para ello, a saber, la “función de error imaginario” (un nombre bastante horrible para una función de valor real de una variable real).
[matemáticas] \ displaystyle F (x) = \ int e ^ {x ^ 2} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ mbox {erfi} (x) [/ math].
(Por cierto, la “función de error” estándar sin el adjetivo “imaginario” es la antiderivada de [math] e ^ {- x ^ 2} [/ math], que es una función mucho más útil para integrar dado su papel en describiendo la distribución normal muy importante).
Ahora, la pregunta sigue siendo, ¿cómo sabemos que esta [matemática] F [/ matemática] no puede expresarse usando alguna combinación loca de [matemática] \ log [/ matemática], [matemática] \ sin [/ matemática], raíces, exponentes, sumas, diferencias, productos y proporciones? Tal vez simplemente no hemos encontrado uno?
Es cierto que encontrar antiderivados es difícil , así que solo porque usted o yo no podamos integrar una determinada función en términos elementales no significa que esto no se pueda hacer. Sin embargo, la inexistencia de una antiderivada primitiva de [matemáticas] e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas] no es una observación empírica probable: es un teorema . Una vez que defina con precisión qué es una “función elemental”, lo cual no es difícil de hacer, puede probar que la [matemática] F [/ matemática] que acabamos de encontrar no es una función elemental.
Este es un famoso teorema de Liouville de algún tiempo alrededor de 1840. La teoría utilizada para probar esto se llama Álgebra Diferencial, y es algo análogo a la forma en que la teoría de Campo y la teoría de Galois se usan para demostrar la insolubilidad de varias ecuaciones polinómicas. Todo esto se describe completamente en este artículo de Brian Conrad, que requiere conocimientos básicos de álgebra lineal de pregrado, análisis real y un poco de álgebra abstracta.