¿Qué es un álgebra no conmutativa?

Como Drew Henry mencionó, “un álgebra” es un espacio vectorial que también tiene un producto definido, por lo que puede multiplicar vectores. Una definición equivalente, pero gloriosamente obtusa, es que un álgebra es una inyección de un campo en el centro de un anillo. (Menciono eso solo como un poco de trivia. Si sabes lo que significan todas esas palabras, entonces puede que te resulte divertido que para algunas personas, esa sea la definición más natural. Si no sabes lo que significan todas esas palabras, Realmente no vale la pena aprenderlos solo para entender este comentario).

Los ejemplos que Drew dio (3 x 3 vectores y n x n matrices) son importantes. Hay un par de otra amplia clase de ejemplos.

Primero, es fácil encontrar ejemplos de álgebras conmutativas . Supongamos que tiene un espacio topológico, X. Si no sabe exactamente qué es un espacio topológico, suponga que tiene cualquier forma, como una rosquilla, por ejemplo. Del mismo modo que puede considerar las funciones matemáticas en una línea, también puede considerar las funciones matemáticas definidas en este espacio topológico, X. (Por ejemplo, es fácil imaginar una función de “temperatura”: para cada punto p en el espacio, [matemáticas] T (p) [/ math] da la temperatura en ese punto).

Si el espacio topológico [matemáticas] X [/ matemáticas] satisface algunas condiciones topológicas leves (localmente compacto, Hausdorff, para aquellos que conocen esas palabras), entonces las funciones en ese espacio forman un álgebra conmutativa. De hecho, es un tipo especial de álgebra conmutativa llamada álgebra C * (se pronuncia “álgebra estrella C”). De hecho, las propiedades topológicas sobre [matemáticas] X [/ matemáticas] se traducen en propiedades algebraicas en el álgebra C * correspondiente.

Resulta que podemos revertirlo. Cada álgebra conmutativa C * proviene de un espacio de funciones de esa manera.

Entonces, cuando uno considera álgebras C * no conmutativas, puede decir por analogía que están estudiando “espacios topológicos no conmutativos”. Si solo ha tomado un curso de topología, es posible que no tenga idea de cómo tener sentido de esa frase De hecho, podría pensar (como lo hice cuando lo escuché por primera vez) que alguien está inventando algo o está muy equivocado.

Pero no … esa es una buena ruta de investigación.

Funciona con otras cosas también. La misma maquinaria funciona con “espacios de medida”, cualesquiera que sean. Ciertas funciones definidas en cierto espacio de medida forman otro tipo especial de algbera conmutativa, esta vez llamada álgebra de von Neumann. Al igual que con las álgebras C *, el proceso es reversible para las álgebras conmutativas de von Neumann. Por lo tanto, las álgebras de von Neumann no conmutativas pueden considerarse como “espacios de medida no conmutativos”.

La palabra álgebra puede ser una asignatura en matemáticas, así como un objeto matemático en matemáticas, usted está preguntando acerca de esto último. Es un objeto matemático “entre” anillo y campo.

Un álgebra no conmutativa es un álgebra sin requerimiento de la ley conmutativa. Un ejemplo simple es el conjunto de todas las matrices sobre un campo, se llama álgebra matricial sobre el campo en consideración. El conjunto de todas las matrices forma un objeto matemático en el que [math] AB = BA [/ math] no es necesario, pero aún se encuentra sobre el anillo escalar o campo, lo que significa que sus entradas son del anillo base o campo base.

También hay anillos no conmutativos en el tema Álgebra. Un campo debe ser un anillo conmutativo más una propiedad más de que cada elemento que no sea ceros tenga un inverso. Pero, el último no tiene que ser cierto en el objeto llamado álgebra.

Aproximadamente, un álgebra es un módulo agregado con multiplicación de elementos, también tiene una multiplicación escalar más allá de la suma y multiplicación. Sin la multiplicación escalar, un módulo se “reduciría” para ser un grupo aditivo; sin la multiplicación escalar, un álgebra se “reduciría” para ser un anillo. Por lo tanto, podría decir que un álgebra es un anillo con una multiplicación escalar ; un álgebra no conmutativa es un anillo no conmutativo con un anillo base que se usa para la multiplicación escalar.

El álgebra no conmutativa y el álgebra conmutativa son objetos que mencioné anteriormente llamados álgebra. Podría decir que el álgebra no conmutativa es un campo matemático sin mucha intersección con otros campos de las matemáticas, como el álgebra conmutativa tiene propiedades más comunes con el anillo y el campo. Pero el álgebra no conmutativa puede tener algunas aplicaciones muy útiles en matemáticas, así como en combinatoria y criptografía, para lo cual no estoy familiarizado ya que tampoco estoy familiarizado con este campo.

En un sentido claro, un álgebra no conmutativa pertenece a la colección de objetos en álgebra abstracta. Es uno sin la ley conmutativa, palabra clave. Eso es intercambiabilidad de términos en cualquier operación binaria y resultado equivalente. Luego, en esta colección, es el anillo de división el que, si está dotado de la ley conmutativa, se convierte en el campo. Si aplica la propiedad de conmutatividad a álgebras adicionales, en hipótesis se asemejan a objetos simples en álgebra abstracta. Creo que requiere la noción de conjunto de elementos y operaciones binarias, con propiedades mantenidas. Esto es suficiente para hacer cualquier álgebra.

A2A: Otros lo han definido muy bien, así que solo intentaré describir su importancia para la física. En la formulación de la teoría cuántica de campos, surgió una expresión de la forma [matemática] AB-BA [/ matemática]. Su valor sería idénticamente cero debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. Pero no se puede encontrar un camino a seguir a menos que esta expresión sea distinta de cero. Luego se consideraron álgebras alternativas, y se descubrió que el problema podría resolverse definiendo [math] A [/ math] y [math] B [/ math] como matrices. La multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa.

El álgebra no conmutativa es una rama del álgebra, que se ocupa de la estructura no conmutativa (no abeliana). Algunos ejemplos de esta estructura son los anillos no conmutativos (un ejemplo de dicho anillo es un anillo de matrices cuadradas sobre cualquier campo o anillo) y grupos no conmutativos (un ejemplo de dicho grupo es un grupo simétrico con el símbolo n (> 2)).

Nota: Se dice que la estructura S es conmutativa o abeliana si algún elemento de S conmuta con cada elemento de S, es decir, a * b = b * a para todo a, b en S, donde * es una operación binaria en S.

Espero que ayude.

Un álgebra es un espacio vectorial dotado de algún tipo de producto. Un álgebra no conmutativa, entonces, es un álgebra que no es conmutativa sobre este producto. El espacio de los vectores euclidianos tridimensionales junto con el producto cruzado es un álgebra no conmutativa ([matemática] \ vec {u} \ times \ vec {v} = – \ vec {v} \ times \ vec {u} [ /matemáticas]). El espacio de n x n matrices dimensionales con multiplicación de matrices también es un álgebra no conmutativa.