Como Drew Henry mencionó, “un álgebra” es un espacio vectorial que también tiene un producto definido, por lo que puede multiplicar vectores. Una definición equivalente, pero gloriosamente obtusa, es que un álgebra es una inyección de un campo en el centro de un anillo. (Menciono eso solo como un poco de trivia. Si sabes lo que significan todas esas palabras, entonces puede que te resulte divertido que para algunas personas, esa sea la definición más natural. Si no sabes lo que significan todas esas palabras, Realmente no vale la pena aprenderlos solo para entender este comentario).
Los ejemplos que Drew dio (3 x 3 vectores y n x n matrices) son importantes. Hay un par de otra amplia clase de ejemplos.
Primero, es fácil encontrar ejemplos de álgebras conmutativas . Supongamos que tiene un espacio topológico, X. Si no sabe exactamente qué es un espacio topológico, suponga que tiene cualquier forma, como una rosquilla, por ejemplo. Del mismo modo que puede considerar las funciones matemáticas en una línea, también puede considerar las funciones matemáticas definidas en este espacio topológico, X. (Por ejemplo, es fácil imaginar una función de “temperatura”: para cada punto p en el espacio, [matemáticas] T (p) [/ math] da la temperatura en ese punto).
Si el espacio topológico [matemáticas] X [/ matemáticas] satisface algunas condiciones topológicas leves (localmente compacto, Hausdorff, para aquellos que conocen esas palabras), entonces las funciones en ese espacio forman un álgebra conmutativa. De hecho, es un tipo especial de álgebra conmutativa llamada álgebra C * (se pronuncia “álgebra estrella C”). De hecho, las propiedades topológicas sobre [matemáticas] X [/ matemáticas] se traducen en propiedades algebraicas en el álgebra C * correspondiente.
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Resulta que podemos revertirlo. Cada álgebra conmutativa C * proviene de un espacio de funciones de esa manera.
Entonces, cuando uno considera álgebras C * no conmutativas, puede decir por analogía que están estudiando “espacios topológicos no conmutativos”. Si solo ha tomado un curso de topología, es posible que no tenga idea de cómo tener sentido de esa frase De hecho, podría pensar (como lo hice cuando lo escuché por primera vez) que alguien está inventando algo o está muy equivocado.
Pero no … esa es una buena ruta de investigación.
Funciona con otras cosas también. La misma maquinaria funciona con “espacios de medida”, cualesquiera que sean. Ciertas funciones definidas en cierto espacio de medida forman otro tipo especial de algbera conmutativa, esta vez llamada álgebra de von Neumann. Al igual que con las álgebras C *, el proceso es reversible para las álgebras conmutativas de von Neumann. Por lo tanto, las álgebras de von Neumann no conmutativas pueden considerarse como “espacios de medida no conmutativos”.