Encuentre un AP en el que la suma de los primeros términos [matemática] n [/ matemática] sea tres veces [matemática] n ^ 2 [/ matemática]

Answer 1

Otras respuestas han mencionado cómo resolver este problema. Así que prefiero darle algunos consejos / atajos sobre cómo resolver tales problemas en el futuro.

Recuerde esto, la suma de un AP siempre es una ecuación cuadrática y una ecuación cuadrática solamente. Entonces, si la suma de un AP se da como una ecuación cuadrática, no tiene que molestarse en verificar.

Deje [math] S_n = an ^ 2 + bn + c [/ math]

=> [matemáticas] S_ {n-1} = a (n-1) ^ 2 + b (n-1) + c [/ matemáticas]

Sabemos, [matemáticas] T_n = S_n-S_ {n-1} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] T_n = an ^ 2 + bn + ca (n-1) ^ 2 + b (n-1) + c = 2an-a + b [/ matemáticas]

=> [matemáticas] T_1 = 2a-a + b = a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] d = T_n-T_ {n-1} [/ matemáticas]

=> [matemáticas] d = 2an-a + b-2a (n-1) + ab = 2a [/ matemáticas]

Entonces, verifiquemos esto para el problema actual:

[matemáticas] S_n = 3n ^ 2 => a = 3, b = 0, c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto, T_n = 6n-3, d = 6, T_1 = 6 * 1-3 = 3 [/ matemáticas]

Entonces el AP requerido = 3,9,15 …

Tan larga historia corta:

Si [matemáticas] S_n = an ^ 2 + bn + c: [/ matemáticas]

• [matemáticas] T_n = 2an-a + b [/ matemáticas]
• [matemáticas] T_1 = a + b [/ matemáticas]
• [matemáticas] d = 2a [/ matemáticas]

Answer 2

NK Sharma ya ha explicado una forma clásica de abordar tales problemas. Mi solución es un poco informal pero requiere menos tiempo.

Tenga en cuenta que tn = ‘n’ enésimo término, d = diferencia común, a = 1er término y Sn = Suma de 1er ‘n’ términos
Dado que Sn = 3n ^ 2.
S1 = t1 = a = 3 (1) ^ 2 = 3 .
S2 = 3 (2) ^ 2 = 12 .
t2 = S2-S1 = 12-3 = 9 .
d = t2-t1 = 9-3 = 6 .
Entonces, hemos encontrado a & d de ese AP
El siguiente paso es confirmar que dicho AP existe.
Pon los valores de a & d en esta fórmula:
Sn = (n / 2) * [2a + (n-1) d]
Obtiene: Sn = (n / 2) * (6n) = 3n ^ 2.
¡Y hemos terminado! Aquí está el AP:
3, 9, 15, 21, ……….

Answer 3

S (n) = 3 (n) ^ 2
S (1) = t1 = 3 (1) ^ 2 = 3
S (2) = 3 (2) ^ 2 = 12
Ahora
S (2) = t1 + t2
12 = 3 + t2
T2 = 9

D = t2 – t1
= 9-3
= 6
Entonces ap es
t1, t2, t3, …
3,9,15,… ..

Answer 4

Considera un AP
a, a + d, a + 2d, …………
Suma de n términos es
(n / 2) [2a + (n-1) d] = 3n ^ 2
=> 2a + (n-1) d = 3n
=> a + (1/2) (n-1) d = 3n
=> a + (m-1) d = 6m-3
=> el enésimo término es 6m-3
Primer término = 3, segundo término = 9
Por lo tanto, el AP requerido es
3,9,15,21,27, ……
Espero que esto funcione … y facilite
comprender…..

Answer 5

n / 2 (2a + (n-1) d) = 3n ^ 2

resolviendo obtenemos

2a + (n-1) d = 6n

ahora, n es un no natural, entonces poner n = 1 yn = 2

obtenemos,

2a = 6, 2a + d = 12

por lo tanto a = 3, d = 6

AP requerido es 3,9,15,21,27