Cómo probar f (x) = x ^ 2 si f (x / y) = f (x) / f (y), f (y) no es igual a cero y f ‘(1) = 2

Answer 1

Sea z = x / y, luego x = yz yf (yz) = f (y) f (z). Si y = 1, entonces f (z) = f (1) f (z), entonces f (1) = 1 o f (z) = 0. Esto último está explícitamente prohibido. Suponga que f (x)> 0 para todas las x. Es fácil ver que las únicas funciones continuas que satisfacen esto son de la forma f (x) = x ^ c. (Comience a probarlo para los enteros, luego los racionales, luego use la continuidad).

Entonces f ‘(x) = cx ^ (c-1), entonces c = f’ (1) = 2. Por lo tanto, f (x) = x ^ 2.

¿Hay una solución con f (x) <0? La ecuación funcional f (yz) = f (y) f (z) no puede tener una solución uniformemente negativa. Si hay x tal que f (x) 0. Pero todos los números positivos son cuadrados, por lo que no puede haber una solución negativa cuando x> 0 Puedes pensar en x negativo. Sabemos que la solución anterior es válida para x negativa, pero ¿es la única solución?

Answer 2

Esto se puede resolver mediante la primera definición de diferenciación.

Aquí estoy denotando la diferenciación de f (x) como f ‘(x).

f ‘(x) = límite (h-> 0) ((f (x + h) -f (x)) / h)

f ‘(x / y) = límite (h-> 0) ((f (x / y + h) -f (x / y)) / h)

= límite (h-> 0) ((f ((x + h * y) / y) -f (x / y)) / h)

= límite (h-> 0) ((f (x + h * y) / f (y) -f (x) / f (y)) / h)

= límite (h-> 0) ((f (x + h * y) -f (x)) / (h * f (y))

= (y / f (y)) * límite (h-> 0) ((f (x + h * y) -f (x)) / h * y) (dividiendo numerador y denominador por y)

= (y / f (y)) * límite (h * y-> 0) ((f (x + h * y) -f (x)) / (x + (h * y) -x))

= y / f (y)) * f ‘(x)

Ahora poniendo y = x arriba y usando f ‘(1) = 2

f ‘(x / x) = x / f (x) * f’ (x)

f ‘(1) = x * (f’ (x) / f (x))

f ‘(x) / f (x) = f’ (1) / x

f ‘(x) / f (x) = 2 / x

ahora integrando ambos lados wrt x tenemos

ln (f (x)) = 2 * ln (x) + ln c

ln (f (x)) = ln (x ^ 2) + ln c (aquí ln c es constante)

ln (f (x)) = ln (c * (x ^ 2))

f (x) = c * (x ^ 2)

para calcular el valor de c usamos el valor de f ‘(1)

diferenciar f (x) wrx

f ‘(x) = 2 * c * x

entonces f ‘(1) = 2 * c * 1 = 2 * c

2 * c = f ‘(1) = 2

c = 2/2 = 1

así ecuación de función

f (x) = x ^ 2.