Cómo calcular el producto [matemáticas] \ displaystyle \ cos \ left (\ frac {\ pi} {7} \ right) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) \ cos \ left ( \ frac {3 \ pi} {7} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ cos {(\ pi- \ dfrac {3 \ pi} {7})} = – \ cos {(\ dfrac {3 \ pi} {7})} [/ matemáticas]

[matemáticas] => \ cos {(\ dfrac {3 \ pi} {7})} = – \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7})} [/ matemáticas]

[matemáticas] => \ cos {(\ dfrac {\ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {3 \ pi} { 7})} = – \ cos {(\ dfrac {\ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7})} [/ matemáticas]

[matemática] – \ cos {(\ dfrac {\ pi} {7})} * cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7 })} = \ dfrac {-2 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {\ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7})}} {2 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {- \ sin {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7})}} {2 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} [/ math]

Multiplica y divide por 2,

= [matemáticas] \ dfrac {- \ sin {(\ dfrac {4 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {4 \ pi} {7})}} {4 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} [/ matemáticas]

De nuevo, multiplica y divide por 2

= [matemáticas] \ dfrac {- \ sin {(\ dfrac {8 \ pi} {7})}} {8 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin {(\ dfrac {8 \ pi} {7})} = \ sin {(\ pi + \ dfrac {\ pi} {7})} = – \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {- \ sin {(\ dfrac {8 \ pi} {7})}} {8 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} = \ dfrac {- ( – \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})})} {8 \ sin {(\ dfrac {\ pi} {7})}} = \ dfrac {1} {8} [/ math]

=> [matemáticas] \ cos {(\ dfrac {\ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {2 \ pi} {7})} * \ cos {(\ dfrac {3 \ pi} { 7})} = \ dfrac {1} {8} [/ matemáticas]

Cómo demostrar [matemáticas] 1 = e ^ {2 \ pi ik} [/ matemáticas] para cualquier número entero [matemáticas] k [/ matemáticas]

¿Por qué la probabilidad de que sea ‘X’ e ‘Y’ = X * Y?

Cómo demostrar que [matemáticas] [nx] = [x] + \ sum_ {1} ^ {n-1} [x + 1 / n] [/ matemáticas]

¿Cómo encontramos el valor de [math] tan ^ {- 1} (\ dfrac {3} {5}) [/ math]?

¿Qué cualidades buscará un entrenador de fútbol en un centrocampista central?

Cómo simplificar la expresión sqrt (4x ^ 2)

Gracias por el A2A Bernard Blander.

Para simplificar este producto, utilizamos la identidad de doble ángulo para seno

[matemáticas] \ displaystyle \ sin 2A = 2 \ sin A \ cos A \ tag * {} [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores de [math] A [/ math] de modo que coincidan con el problema, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} 2 \ sin \ frac {\ pi} 7 \ cos \ frac {\ pi} 7 & = \ sin \ frac {2 \ pi} 7 \ tag {0.1} \\ 2 \ sin \ frac {2 \ pi} 7 \ cos \ frac {2 \ pi} 7 & = \ sin \ frac {4 \ pi} 7 \ tag {0.2} \\ 2 \ sin \ frac {3 \ pi} 7 \ cos \ frac {3 \ pi} 7 & = \ sin \ frac {\ pi} 7 \ tag {0.3} \ end {align *} [/ math]

Multiplicando las ecuaciones [matemática] (0.1), (0.2), [/ matemática] y [matemática] (0.3) [/ matemática] juntas, llegamos fácilmente a

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} 8 \ sin \ frac {\ pi} 7 \ cos \ frac {\ pi} 7 \ sin \ frac {2 \ pi} 7 \ cos \ frac {2 \ pi} 7 \ sin \ frac {3 \ pi} 7 \ cos \ frac {3 \ pi} 7 & = \ sin \ frac {2 \ pi} 7 \ sin \ frac {4 \ pi} 7 \ sin \ frac {\ pi} 7 \\\ implica \ cos \ frac {\ pi} 7 \ cos \ frac {2 \ pi} 7 \ cos \ frac {3 \ pi} 7 & = \ frac {\ sin \ frac {4 \ pi} 7} {8 \ sin \ frac {3 \ pi} 7} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Para simplificar el lado derecho, usamos la identidad [math] \ sin (\ pi- \ theta) = \ sin \ theta [/ math] y deducimos que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sin \ frac {4 \ pi} 7} {\ sin \ frac {3 \ pi} 7} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Y por lo tanto, vemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ cos \ frac {\ pi} 7 \ cos \ frac {2 \ pi} 7 \ cos \ frac {3 \ pi} 7 = \ frac 18} \ tag * {} [ /matemáticas]

Bernard Blander

Deje [math] S = \ sin \ frac {\ pi} {7} \ sin \ frac {{2 \ pi}} {7} \ sin \ frac {{3 \ pi}} {7} [/ math]

Ahora

[matemáticas] 8S \ cos \ frac {\ pi} {7} \ cos \ frac {{2 \ pi}} {7} \ cos \ frac {{3 \ pi}} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left ({2 \ sin \ frac {\ pi} {7} \ cos \ frac {\ pi} {7}} \ right) \ left ({2 \ sin \ frac {{2 \ pi} } {7} \ cos \ frac {{2 \ pi}} {7}} \ right) \ left ({2 \ sin \ frac {{3 \ pi}} {7} \ cos \ frac {{3 \ pi }} {7}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ sin \ frac {{2 \ pi}} {7} \ sin \ frac {{4 \ pi}} {7} \ sin \ frac {{6 \ pi}} {7} = \ sin \ frac {\ pi} {7} \ sin \ frac {{2 \ pi}} {7} \ sin \ frac {{3 \ pi}} {7} [/ math]

[matemáticas] = S [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ cos \ frac {\ pi} {7} \ cos \ frac {{2 \ pi}} {7} \ cos \ frac {{3 \ pi}} {7} = \ frac {1} {8 }[/matemáticas]

Bernard Blander

More Interesting

Cómo demostrar [matemáticas] \ tan (\ pi / 7) \ cdot \ tan (2 \ pi / 7) \ cdot \ tan (3 \ pi / 7) = \ sqrt {7} [/ matemáticas]

Cómo resolver (xa) (xb) (xc)

Cómo resolver y = -1 / 2x + 3 y = 2x-1 e y = -2x + 4 y = -x-4

¿Qué significa esta declaración – while (~ scanf (‘% d% d% d’, & a, & b, & n))?

[matemáticas] x \ neq y \ neq z [/ matemáticas], si [matemáticas] x ^ 2- \ frac {yz} {a} = y ^ 2- \ frac {zx} {b} = x ^ 2- \ frac {xy} c [/ math] ¿cuál sería el valor simplificado de [math] (a + b + c) (x + y + z) [/ math]?

No soy bueno en cálculo mental, pero soy bueno en álgebra. ¿Cómo puedo mejorar la habilidad de cálculo mental?

Si el inverso de una relación directamente proporcional es inversamente proporcional, ¿cómo se llama el inverso de una relación lineal?