Cómo resolver la integral doble de e ^ sin (x + y)

Answer 1

Lo primero sería cambiar las variables de integración a [math] z _ {\ pm} = x \ pm y [/ math]. La integral es entonces

[matemáticas] \ int ^ {2 \ pi} _ {- 2 \ pi} dz _ {+} \ int ^ {2 \ pi- | z _ {+} |} _ {- 2 \ pi + | z _ {+} |} dz _ {-} e ^ {\ sin (z _ {+})} [/ math]

Calculando la integral sobre [matemática] z _ {-} [/ matemática] y cambiando [matemática] z _ {+} [/ matemática] a [matemática] z [/ matemática] obtenemos

[matemáticas] 2 \ int ^ {2 \ pi} _ {- 2 \ pi} \ left (2 \ pi- | z | \ right) e ^ {\ sin (z)} dz [/ math]

Para deshacerse del valor absoluto, dividimos la integral en dos partes.

[matemáticas] 2 \ int ^ {2 \ pi} _ {0} \ left (2 \ pi-z \ right) e ^ {\ sin (z)} dz + 2 \ int ^ {0} _ {- 2 \ pi} \ left (2 \ pi + z \ right) e ^ {\ sin (z)} [/ math]

En la integral de segundo, cambie la variable de integración a [math] -z [/ math] y luego

[matemáticas] 4 \ int ^ {2 \ pi} _ {0} \ left (2 \ pi-z \ right) \ sinh (\ sin z) dz [/ math]

Como una simplificación adicional, cambiamos la variable de integración a [math] z- \ pi [/ math]

[matemáticas] 4 \ int ^ {\ pi} _ {- \ pi} \ left (\ pi-z \ right) \ sinh [\ sin (z + \ pi)] dz = 4 \ int ^ {\ pi} _ { – \ pi} \ left (z- \ pi \ right) \ sinh (sin z) dz [/ math]

Por paridad encontramos que la integral es

[matemáticas] 8 \ int ^ {\ pi} _ {0} z \ sinh (\ sin z) dz [/ matemáticas]

Esta integral se parece a la representación integral de la función Bessel modificada, pero no es exactamente la misma. Completaré la respuesta más tarde.

EDITAR: completando la respuesta:

Calcular los últimos rendimientos integrales

[matemáticas] 4 \ pi ^ {2} L_ {0} (1) [/ matemáticas]

donde L es la función Struve L

Answer 2

Esta integral no puede evaluarse utilizando funciones elementales, incluso en una sola variable. Usé la serie de Maclauren para aproximar la función. Luego integre con respecto a xy luego y. Puede integrarse en el orden que desee. La aproximación es bastante buena. Si lo compara con el valor real usando la calculadora en línea, la diferencia es solo 0.63