La línea con la ecuación [matemática] y = 2x + c [/ matemática], donde [matemática] c [/ matemática] es una constante, es una tangente a la curva con la ecuación [matemática] y = 3x ^ 2-6x + 2 [/matemáticas]. Encuentre el valor de [math] c [/ math]?

Answer 1

La línea con la ecuación y = 2x + c, donde c es una constante, es una tangente a la curva con la ecuación y = 3x ^ 2-6x + 2. Encuentra el valor de c?

Esto parece tarea, así que daré tres pasos en el proceso, pero no la respuesta final.

1. La pendiente de la tangente en cualquier punto de la curva viene dada por la derivada [math] y ‘= 6x-6 [/ math]. ¿Para qué valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] es esto igual a 2 (la pendiente de la línea tangente dada)? Llame a este número [math] a [/ math].
2. ¿Cuál es el valor correspondiente de [matemáticas] y = 3a ^ 2-6a + 2 [/ matemáticas]? Llame a este número [matemáticas] b [/ matemáticas].
3. Ahora sabe que la línea tangente en cuestión [matemáticas] y = 2x + c [/ matemáticas] debe pasar por el punto [matemáticas] (x, y) = (a, b) [/ matemáticas]. Sustituya estos números en la ecuación de línea tangente y encuentre [math] c [/ math].

Answer 2

Si la línea es tangencial a la curva, solo pueden “interactuar” en UN punto.

Resolver puntos de intersección.

3x² – 6x + 2 = 2x + c

3x² – 8x + (2 — c) = 0

Para 2 raíces iguales o 1 raíz distict,

Discrrinant △ = b² — 4 ac = 0

(—8) ² — 4 (3) (2 — c) = 0

64–24 + 12c = 0

12c = —40

c = —40 / 12 = —10 / 3

Answer 3

Como sabemos que el gradiente de la tangente que estamos tratando de encontrar es [matemática] 2 [/ matemática]

[matemáticas] y = mx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] m = 2 [/ matemáticas]

donde [math] m [/ math] es el gradiente

Esto significa que la derivada de la curva debe ser igual a [math] 2 [/ math]

Asumiré que sabes diferenciar

Si [matemáticas] y = 3x ^ 2-6x + 2 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 6x-6 [/ matemáticas]

desde [matemática] m = 2 [/ matemática], [matemática] \ frac {dy} {dx} = 2 [/ matemática]

[matemáticas] 2 = 6x-6 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6x = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {8} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {4} {3} [/ matemáticas]

Ahora sabemos la coordenada [matemática] x [/ matemática] de un punto por el que pasa la tangente. Para encontrar la coordenada [math] y [/ math] simplemente sustituimos nuestra coordenada [math] x [/ math] en la función original.

[matemática] y = 3 \ izquierda (\ frac {4} {3} \ derecha) ^ 2-6 \ izquierda (\ frac {4} {3} \ derecha) +2 [/ matemática]

[matemáticas] y = \ frac {16} {3} -8 + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = – \ frac {2} {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el punto [matemáticas] \ izquierda (\ frac {4} {3}, – \ frac {2} {3} \ derecha) [/ matemáticas]

Usando la ecuación [math] y-y_1 = m \ left (x-x_1 \ right) [/ math] para encontrar la ecuación de la línea:

[matemáticas] y + \ frac {2} {3} = 2 \ izquierda (x- \ frac {4} {3} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] y + \ frac {2} {3} = 2x- \ frac {8} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2x- \ frac {10} {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, esta es la ecuación de tu línea

En un gráfico, con la curva, se ve así:

Answer 4

Hagamos el caso general. He cambiado el nombre de la variable [matemáticas] c [/ matemáticas] a [matemáticas] z; [/ matemáticas] Me gustan mis incógnitas al final del alfabeto.

[matemática] y = mx + z [/ matemática] tangente a [matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática]

Tangente significa [matemática] y [/ matemática] y [matemática] y ‘[/ matemática] son ​​iguales en el punto tangente, llamemos a eso [matemática] (x, y). [/ Matemática]

[matemáticas] mx + z = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

[matemática] m = 2ax + b [/ matemática]

[matemáticas] x = \ dfrac {mb} {2a} [/ matemáticas]

[matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] [matemática] = \ dfrac {(mb) ^ 2} {4a} + \ dfrac {2b (mb)} {4a} + c [/ matemática] [matemáticas] = \ dfrac {(mb) (mb + 2b)} {4a} + c [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {m ^ 2 – b ^ 2 + 4ac} {4a} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = y-mx = \ dfrac {m ^ 2 – b ^ 2 + 4ac} {4a} – \ dfrac {2m (mb)} {4a} = \ dfrac {m ^ 2 – b ^ 2 + 4ac -2m ^ 2 + 2mb} {4a} = \ dfrac {- (mb) ^ 2 + 4ac} {4a} [/ math]

Enchufemos [matemáticas] m = 2, a = 3, b = -6, c = 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {2- -6} {6} = \ dfrac 4 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {2 ^ 2 – (-6) ^ 2 + 4 (3) 2} {4 (3)} = \ dfrac {-8} {12} = – \ dfrac {2} {3 }[/matemáticas]

[matemáticas] z = \ dfrac {- (2 – -6) ^ 2 + 4 (3) 2} {4 (3)} = – \ dfrac {10} {3} [/ matemáticas]

Cheque:

[matemática] y = mx + z = 2x – 10/3 = 2 (4/3) – 10/3 = -2/3 \ quad \ checkmark [/ math]

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c = 3 (4/3) ^ 2 – 6 (4/3) + 2 = 16/3 -24/3 + 2 = -2/3 \ quad \ marca de verificación [ /matemáticas]

[matemáticas] y ‘= 2ax + b = 2 (3) (4/3) – 6 = 2 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 5

En el punto donde una línea es tangente a una curva, ambas tienen el mismo gradiente.

El gradiente de [matemáticas] y = 2x + c [/ matemáticas] es [matemáticas] m = 2 [/ matemáticas].

El gradiente de [matemáticas] y = 3x ^ 2–6x + 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] m = \ frac {dy} {dx} = 6x – 6 = 2 \ implica x = \ frac43 [/ matemáticas].

[matemáticas] y = 3 (\ frac43) ^ 2–6 (\ frac43) +2 = – \ frac23 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto – \ frac23 = 2 (\ frac43) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] c = – \ frac {10} {3} [/ matemáticas]

Answer 6

Toma la derivada del polinomio.

dy / dx = 6x – 6

Como la línea y = 2x + c es tangente a la curva, esto significa que podemos establecer dy / dx igual a esta ecuación lineal.

6x – 6 = 2x + c
4x – 6 = c

c = 4x – 6. Entonces, por ejemplo, si x = 1, entonces tenemos c = 4 (1) – 6 = 4 – 6 = -2

Entonces c depende de x.

Answer 7

El gradiente de la tangente es 2.

Diferenciar 3x ^ 2–6x + 2, y equipararlo a 2.

Luego resuelve para x. Encuentra y de esta x. Sustituye (x, y) en la ecuación de la tangente para encontrar c.

Answer 8

Espero que hayas entendido … 🙂

Answer 9

Solo insinuaré:

La tangente tiene pendiente 2. Encuentre el punto en la curva donde la tangente tiene pendiente 2. Una vez que obtenga el punto, imponga la condición de que la tangente tiene que pasar por ese punto. Esto le dará la [matemática] c [/ matemática].