Cómo saber si una tabla de Cayley define una operación grupal

Answer 1

Para tablas muy pequeñas, puede verificarlas manualmente, pero realmente no vale la pena ya que los grupos siempre se describen de otra manera.

Primero identifique la identidad [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Eso siempre tendrá una fila y una columna que coincidan con los encabezados de las filas y columnas. Para (1) es c, para (2) es c, y para (3) no existe. Entonces (3) no describe un grupo.

Luego identifica los inversos. Para cada [matemática] x [/ matemática] encuentre una [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] xy = yx = 1 [/ matemática]. No existen para (1), por lo que (1) no describe un grupo. Para (3), [matemáticas] a ^ {- 1} = b [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ {- 1} = a [/ matemáticas].

Todo lo que queda por mostrar (2) describe un grupo es la asociatividad. [matemáticas] (xy) z = x (yz) [/ matemáticas]. Si cualquiera de [matemática] x, y, [/ matemática] o [matemática] z [/ matemática] es la identidad, asociativamente es automática. Por lo tanto, solo debe considerar los valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] para cada una de [matemáticas] x, y, [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas]. Eso son 8 casos para verificar.

Si tiene una tabla [math] n \ times n [/ math], para verificar la asociatividad, habrá casos [math] (n-1) ^ 3 [/ math]. Eso es demasiado para verificar a mano cuando [math] n \ geq5 [/ math]. Incluso para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] eso es mucho. Por más grande que eso, podrías usar una computadora.

Answer 2

La asociatividad puede verificarse mediante la fuerza bruta, utilizando cada permutación posible de 3 elementos de grupo. Pero eso es tedioso. Si su grupo es abeliano, puede eliminar un montón de casos. Pero esto es difícil.

Una mejor manera sería encontrar un grupo que sea isomorfo (léase: básicamente el mismo grupo). Por ejemplo, solo hay un grupo de tamaño 3 (Z3) y dos grupos de tamaño 4 (Z4 y Z2 x Z2). Siga adelante y encuentre las mesas de Cayley para esos grupos. Si su tabla Cayley coincide con el patrón de esos (hasta el orden de los elementos), entonces es un grupo. De lo contrario, no es un grupo.

Por ejemplo, en esa segunda tabla de su imagen, seleccione a = 1, b = 2 y c = 0. Verás que la tabla coincide con el patrón de Z3. Voila! No hay axiomas para comprobar!

Answer 3

Es fácil verificar el cierre, la identidad y las propiedades inversas. La prueba de asociatividad de Light parece ser el estado del arte para verificar la asociatividad, pero querrás una computadora que ayude con eso para cualquier grupo de tamaño decente.

La verificación de la asociatividad de una operación binaria proporciona un algoritmo para las operaciones conmutativas que es mucho más simple.

Answer 4

Para verificar la asociatividad en una tabla de Cayley, una forma útil es encontrar un isomorfismo con el grupo de n raíces de unidad donde n es el número de elementos incluidos en la tabla dada.