Si conoce la desigualdad de Cauchy-Schwarz, hay una sustitución simple:
[matemáticas] (\ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i) ^ 2 \ leq (\ sum_ {i = 1} ^ n a_i ^ 2) (\ sum_ {i = 1} ^ n b_i ^ 2) [/ math ]
Si sustituimos todos los [math] b_i [/ math] como 1, obtendríamos lo anterior como resultado.
Sin embargo, si no lo sabe, hay una manera ingenua de hacerlo: expanda el LHS
- ¿Cómo Peter Scholze ganó un Premio Cole en Álgebra a una edad tan joven?
- Cómo factorizar [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2 – 4x + 1 [/ matemáticas]
- Cómo demostrar que no hay una fórmula general para las raíces de ecuaciones polinómicas de orden mayor que 4 usando matemáticas de secundaria
- Si [matemática] a + b + c + d = 10 [/ matemática] con [matemática] c = d [/ matemática] y [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30 [ / math] donde [math] a, b, c, d [/ math] son números reales positivos, ¿cuál es el mayor valor posible de c?
- Cómo dibujar la tabla para [matemáticas] | y + 2 | = x [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ sum_ {i = 1} ^ n a_i) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i, j \ leq n} a_ia_j [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que
[matemáticas] (a_i-a_j) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_i ^ 2 + a_j ^ 2 \ geq 2a_ia_j [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] a_ia_j \ leq \ frac 12 (a_i ^ 2 + a_j ^ 2) [/ matemáticas]
Debido a que hay 2n apariencias para cada [matemática] a_i [/ matemática] (n “de” [matemática] a_i [/ matemática], n “a” [matemática] a_i [/ matemática]), eso significa
[matemáticas] \ sum_ {i, j \ leq n} a_ia_j \ leq 2n \ times \ frac 12 \ sum_ {i = 1} a_i ^ 2 [/ matemáticas]
Así se mantiene la desigualdad original.
No sé lo que está tratando de demostrar (tal vez la desigualdad de QMAM, sospecho), pero si su pregunta no está relacionada con la desigualdad de QMAM, probarlo también funciona.