Varias respuestas (las de David Joyce y Awnon Bhowmik entre ellas) mencionaron que este cambio de coordenadas proviene del determinante jacobiano [matemáticas] \ det \ left (\ begin {matrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \\ \ end {matriz} \ right) [ /matemáticas]. Esta respuesta pretende mostrar por qué es el determinante jacobiano el factor correcto para insertar.
En resumen: divida la región en cuadros de acuerdo con [math] (u, v) [/ math] -coordinates (o de acuerdo con [math] (r, \ theta) [/ math] -coordinates en este caso). En [math] (x, y) [/ math] -coordinates, se convierten en paralelogramos, y el determinante jacobiano es el factor por el cual el área de un cuadro dado se incrementa por este cambio de coordenadas.
Esto se hace en dimensiones [matemáticas] 2 [/ matemáticas], aunque un argumento similar también funciona en dimensiones superiores.
Suponga que tiene una integral (de, por ejemplo, [matemática] f [/ matemática]), en términos de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y desea transformar las coordenadas en, diga [math] u [/ math] y [math] v [/ math]. Divida la región de integración (en [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas]) en muchos rectángulos pequeños, cada uno con ancho [matemáticas] du [/ matemáticas] y altura [matemáticas] dv [ /matemáticas]. En cada uno de estos rectángulos, [math] f [/ math] es aproximadamente constante, por lo que la integral sobre este rectángulo es [math] f (x (u, v), y (u, v)) du dv [/ math] .
Ahora, transforma la integral nuevamente en [math] (x, y) [/ math] -coordinates. Esta transformación lleva las “paredes” que dibujaste con ella. Si bien cada región aún tiene el mismo valor de [math] f [/ math] que tenía antes, el área de la región cambió. Dado que, a escalas lo suficientemente pequeñas, la curvatura no tiene efecto, por lo que cada región puede considerarse como un paralelogramo. Usando la regla de la cadena en múltiples variables, [math] dx = \ frac {\ partial x} {\ partial u} du + \ frac {\ partial x} {\ partial v} dv [/ math] y [math] dy = \ frac {\ partial y} {\ partial u} du + \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv [/ math].
Por lo tanto, el vector [math] (du, 0) [/ math] en [math] (u, v) [/ math] -coordinates se convierte en [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du, \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) [/ math] en [math] (x, y) [/ math] -coordinates. De manera similar, el vector [matemáticas] (0, dv) [/ matemáticas] en [matemáticas] (u, v) [/ matemáticas] -coordenadas se convierte en [matemáticas] \ izquierda (\ frac {\ parcial x} {\ parcial v} dv, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \ right) [/ math] en [math] (x, y) [/ math] -coordinates. Por lo tanto, el rectángulo con dimensiones [math] du [/ math] y [math] dv [/ math] en [math] (u, v) [/ math] -coordinates se convirtió en el paralelogramo con los vectores [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du, \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) [/ math] y [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \ right) [/ math].
Por lo tanto, [matemáticas] \ int {\ int {f \ left (x, y \ right) dx} dy} = \ int {\ int {f \ left (x (u, v), y (u, v)) \ right) A (u, v)}} [/ math], donde [math] A (u, v) [/ math] es el área del paralelogramo en [math] \ left (x (u, v), y (u, v)) \ right) [/ math]. La pregunta es cómo encontrar el área de este paralelogramo, que es la base multiplicada por la altura. Si llamamos a [matemáticas] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du, \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) [/ math] la base, entonces si la otra el vector [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \ right) [/ math] se ajusta por un múltiplo de [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du, \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) [/ math], entonces ni la base ni la altura cambian. En particular, [matemática] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \ right) [/ math] se puede ajustar a [math] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \ right) – \ left (\ frac {\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv} {\ frac {\ partial x} {\ partial u} du} \ right) \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du, \ frac {\ partial y} {\ partial u } du \ right) = \ left (0, \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv – \ left (\ frac {\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv} {\ frac {\ parcial x} {\ partial u} du} \ right) \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) [/ math].
Usando este vector, el otro vector (la base) se puede ajustar a [matemática] \ izquierda (\ frac {\ parcial x} {\ parcial u} du, 0 \ derecha) [/ matemática]. Después de los ajustes, el paralelogramo es un rectángulo, cuya área es
[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} du \ right) \ left (\ frac {\ partial y} {\ partial v} dv – \ left (\ left (\ frac {\ frac {\ partial x} {\ partial v} dv} {\ frac {\ partial x} {\ partial u} du} \ right) \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \ right) \ right) [ /matemáticas]
[math] = \ frac {\ partial x} {\ partial u} du \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv – \ frac {\ partial x} {\ partial v} dv \ frac {\ partial y } {\ parcial u} du [/ matemáticas]
Pero esto es solo [matemáticas] \ det \ left (\ begin {matrix} \ frac {\ partial x} {\ partial u} du & \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \\ \ frac {\ parcial x} {\ partial v} dv & \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \\ \ end {matrix} \ right) [/ math], (con las filas exactamente los vectores del paralelograma), y los ajustes fueron realmente operaciones de fila en esta matriz. En dimensiones superiores, esto sería un determinante similar, por la misma razón, que las operaciones de fila en esa matriz (agregando un múltiplo de una fila a otra) preservan tanto el volumen como el determinante.
Por lo tanto, el área es [matemática] \ det \ left (\ begin {matrix} \ frac {\ partial x} {\ partial u} du & \ frac {\ partial y} {\ partial u} du \\ \ frac {\ parcial x} {\ partial v} dv & \ frac {\ partial y} {\ partial v} dv \\ \ end {matriz} \ right) [/ math], o, [math] \ det \ left (\ begin {matriz} \ frac {\ partial x} {\ partial u} & \ frac {\ partial y} {\ partial u} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial v} & \ frac {\ partial y} {\ partial v} \\ \ end {matrix} \ right) du dv [/ math] (usando las propiedades del determinante).
Eso significa que
[matemáticas] \ int {\ int {f \ left (x, y \ right) dx} dy} = \ int {\ int {f \ left (x (u, v), y (u, v)) \ right ) A (u, v)}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int {\ int {f \ left (x (u, v), y (u, v)) \ right) \ det \ left (\ begin {matrix} \ frac {\ partial x} {\ parcial u} & \ frac {\ partial y} {\ partial u} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial v} y \ frac {\ partial y} {\ partial v} \\ \ end {matriz} \ right) du} dv} [/ math]
que de hecho usa el determinante jacobiano como factor de corrección.
Nota: un cambio en el orden de las variables (columnas o filas de la matriz jacobiana) puede cambiar el signo de la respuesta final. Una forma de evitar esto, si la transformación mantiene la misma orientación (ya sea un vector en sentido horario o antihorario del otro) en toda la región de integración, como es el caso con un cambio en coordenadas polares, es usar el valor absoluto de Jacobiano.