La suma de n términos de un AP es una fórmula bien conocida. Usando eso, podemos derivar convenientemente la ecuación cuadrática que necesitamos investigar.
[matemáticas] S_n = \ dfrac {n} {2} [2a + (n-1) d] [/ matemáticas]
Aquí, [matemáticas] 153 = \ dfrac {n} {2} [2a + (n-1) 2] [/ matemáticas]
o, [matemáticas] 153 = an + (n-1) n [/ matemáticas]
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o, [matemáticas] n ^ 2 + (a-1) n – 153 = 0 [/ matemáticas]
De la fórmula cuadrática, podemos escribir: [matemáticas] n = \ dfrac {1-a \ pm \ sqrt {(a-1) ^ 2 + 612}} {2} [/ matemáticas]
o [matemáticas] n = \ dfrac {(1-a)} {2} \ pm \ sqrt {\ Bigg [\ dfrac {a-1} {2} \ Bigg] ^ 2 + 153} [/ matemáticas]
Aquí es donde la pregunta se vuelve complicada , ya que tenemos que predecir cuándo la raíz cuadrada nos dará un número entero y también comprobar que [math] n [/ math] sigue siendo positivo. La última mitad se puede hacer una vez que reduzcamos los valores posibles de [math] a [/ math].
Deje [math] \ dfrac {a-1} {2} = p [/ math], algún número entero. Entonces necesitamos valores de [math] p [/ math] y [math] q [/ math] (otro entero) tal que [math] p ^ 2 + 153 = q ^ 2 [/ math]
o [matemáticas] 153 = q ^ 2 – p ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora, aquí necesitamos saber el siguiente enfoque. Un número puede expresarse como la diferencia de cuadrados [matemáticos] 2 [/ matemáticos], si puede expresarse como un producto de factores impares [matemáticos] 2 [/ matemáticos], o el de [matemáticos] 2 [/ matemáticos] pares factores Esto se desprende de la siguiente propiedad .
si [matemáticas] x = ab [/ matemáticas],
entonces [matemática] x = \ Bigg [\ dfrac {a + b} {2} \ Bigg] ^ 2 – \ Bigg [\ dfrac {ab} {2} \ Bigg] ^ 2 [/ matemática]
En nuestro caso, tenemos que expresar [math] 153 [/ math] como producto de las probabilidades [math] 2 [/ math] o [math] 2 [/ math]. Claramente, hay [matemáticas] 2 [/ matemáticas] posibilidades: [matemáticas] 3 \ veces 51 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 \ veces 17 [/ matemáticas]
A partir de aquí, podemos obtener el valor de [matemáticas] q = 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] 13 [/ matemáticas], que a su vez nos da los valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] como [matemáticas] 49 [/ math] y [math] 9 [/ math] respectivamente. Estos valores ahora pueden obtener el valor de [math] n [/ math]. Se puede calcular como [matemáticas] n [/ matemáticas] = [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 [/ matemáticas], considerando solo los valores positivos, por supuesto.
Entonces, el número total de valores posibles que [math] n [/ math] puede tomar es [math] 2 [/ math].
Tal vez, también hay un método más corto, pero esto es lo que se me ocurre. Espero que ayude. Si hay algún problema, avíseme.
Gracias Abhineet Saxena , por señalar un error tonto. Se ha corregido ahora.
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153 también se puede expresar como el producto de 1 y de sí mismo. En ese caso, al resolver más, obtenemos el valor de n = 1. Esto puede ser un caso trivial, pero aún es válido, supongo, ya que la respuesta dice que existen tres posibilidades de n.
Gracias Samar Pratap , por comentar.