¿Cuál es la diferencia entre una función lineal y una ecuación lineal?

Answer 1

Técnicamente, el término función lineal se usa de diferentes maneras, como lo muestra el artículo de Wikipedia que he vinculado. Abordaré este punto antes de llegar a su pregunta real.

En el tipo de matemática que probablemente verás en la educación K-12, una “función lineal” es solo un polinomio de grado 1. Esa, o una definición equivalente, es la que creo que estás pensando.

En el contexto del álgebra lineal (y la mayoría de las matemáticas profesionales y de nivel de posgrado, que supone algo de álgebra lineal como conocimiento básico), una “función lineal” es una función que preserva la suma y la multiplicación escalar. (En otras palabras, conserva parte de la estructura algebraica que acompaña a estas operaciones). Específicamente, una función lineal satisface estas dos propiedades:

• [matemática] f (x + y) = f (x) + f (y) [/ matemática] para cualquiera de los dos elementos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] del dominio de la función —Que al menos sería un módulo para que toda la definición tenga sentido. (El conjunto de números reales es ciertamente un módulo sobre sí mismo, pero no el único).
• [math] f (ax) = af (x) [/ math] para cualquier [math] x [/ math] en el dominio y cualquier escalar [math] a [/ math] del anillo de escalares compartidos por el dominio y codominio (hay algunas situaciones en las que tendríamos que multiplicar [matemáticas] a [/ matemáticas] a la derecha en lugar de a la izquierda, pero esa distinción no es demasiado importante para responder a esta pregunta).

¿Son equivalentes estas ideas? No, pero están relacionados. Una función podría ser “lineal” en ambos sentidos si es un polinomio de grado 1 donde el término constante es cero. La segunda definición termina siendo mucho más amplia una vez que comienzas a aprender sobre otros tipos de módulos, especialmente otros tipos de espacio vectorial. Un ejemplo que puede conocer informalmente son las transformaciones lineales en el plano: rotaciones (alrededor del origen), reflexiones (a través de uno de los ejes) y dilataciones (centradas en el origen) son funciones lineales en el espacio de pares ordenados reales . (Las traducciones son un ejemplo de transformaciones afines, que se pueden definir utilizando funciones lineales de una manera diferente).

Ahora, a tu pregunta real. La respuesta es un poco aburrida, pero podría ser interesante. La respuesta obvia es que una función lineal es un tipo de función y una ecuación lineal es un tipo de ecuación . Una ecuación es solo una afirmación de que dos cosas son iguales, pero, por supuesto, está pensando en ecuaciones en dos variables : ecuaciones como esa siempre describen algún tipo de relación binaria, y una función es un tipo particular de relación binaria. (Lo siento si estoy proyectando demasiado). Entonces, en su mente (lo siento de nuevo), una ecuación de dos variables y la relación que describe son realmente lo mismo: solo lo llamamos con diferentes nombres. Eso está bien, siempre y cuando puedas desarrollar una razón sólida para justificar esa equivalencia contigo mismo y con los demás.

Entonces, en términos de la estructura matemática real que está involucrada, tienes razón en que no hay diferencia.

¿Eso significa que no hay ninguna diferencia? Me pregunto.

Aquí hay una pregunta que podría valer la pena considerar. ¿Tiene sentido decirle a alguien “resuelve esta función para x”? No es una pregunta retórica. Si piensa en esa pregunta y trabaja en serio (considere diferentes tipos de funciones, por ejemplo), puede obtener una idea de las ideas que subyacen a su pregunta.

Answer 2

Una función lineal de una variable es aquella cuya gráfica es una línea recta. En general, una función lineal puede ser una función de una o más variables. Cada término en una función lineal es un polinomio de grado uno en una de las variables, o una constante. Entonces [math] f (x) = 3x + 2 [/ math] es una función lineal.

Una ecuación lineal tiene un signo igual, con funciones lineales en ambos lados. Siempre puede mover todo a un lado de la ecuación, por lo que resolver una ecuación lineal es esencialmente encontrar el cero de alguna función lineal. [matemática] 3x + 2 = 0 [/ matemática] es una ecuación lineal. Un poco de álgebra produce [matemáticas] x = – \ frac 2 3. [/ Matemáticas]

Se vuelve turbio porque la notación está sobrecargada. Considere [math] y = 3x + 2. [/ math] Normalmente pensamos en eso como una función de una sola variable [math] x [/ math], más o menos una abreviatura de [math] f (x) = 3x +2 [/ matemáticas]. Pero también es una ecuación lineal en dos variables [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y. [/ Matemáticas] Las soluciones de esa ecuación son los ceros de la función lineal de dos variables [matemáticas] g (x, y) = 3x – y + 2 [/ matemática].

Answer 3

La diferencia básica entre una función y una ecuación es que en una función ingresas valores y obtienes la salida, mientras que en una ecuación la salida ya está determinada para lo cual encuentras cuál es la entrada

Ejemplo

[matemática] 5x – 7y [/ matemática] (función)

[matemática] 5x – 7y = 10 [/ matemática] (ecuación)

Hablando de eso de una manera más gráfica

Para una función ingresa el valor x / y y obtiene el valor y / x correspondiente que traza y obtiene la curva

Para una ecuación, la curva ya se trazará, encontrará los puntos en la curva y observará sus valores x e y

Pueden ser percibidos de alguna manera como imágenes especulares el uno del otro

Answer 4

f (x) = g (x) es una ecuación , donde tanto f (x) como g (x) son funciones de la variable x.

Si el coeficiente de grado más alto de x en f y g es 1, entonces f y g son funciones lineales de x, y la ecuación establecida es una ecuación lineal en x.

Ejemplos:

2x + 4 = 5x + 9 es una ecuación lineal en x. Tanto 2x + 4 como 5x + 9 son funciones lineales de x.

3x + 9 = 0x + 4 también es una ecuación lineal en x.

5x ^ 2 + 2x + 3 = 4x + 9 es una ecuación cuadrática en x, donde el LHS es una función cuadrática de x, mientras que el RHS es una función lineal de x.