[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {e ^ x-1} \, dx [/ matemáticas]
[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {- x}} {1-e ^ {- x}} \, dx [/ math]
Deje [math] u = e ^ {- x} \ implica du = -e ^ {- x} \, dx [/ math]
[math] = \ displaystyle \ int – \ dfrac {du} {1-u} [/ math]
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[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {du} {u-1} [/ math]
[matemáticas] = \ ln | u-1 | + C [/ matemáticas]
Entonces, para la integral definida, tendríamos
[matemáticas] \ bigg [\ ln | e ^ {- x} -1 | \ bigg] _ {x} ^ {\ log 2} = \ dfrac {\ pi} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln | e ^ {- x} -1 | = \ ln | e ^ {- \ log 2} -1 | – \ dfrac {\ pi} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica e ^ {- x} -1 = e ^ {\ ln | e ^ {- \ log 2} -1 | – \ frac {\ pi} {6}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica e ^ {- x} = 1 + e ^ {\ ln | e ^ {- \ log 2} -1 | – \ frac {\ pi} {6}} [/ matemáticas]
[matemática] \ implica e ^ x = \ dfrac {1} {1 + e ^ {\ ln | e ^ {- \ log 2} -1 | – \ frac {\ pi} {6}}} [/ matemática]
[matemáticas] \ implica x = \ ln \ left | \ dfrac {1} {1 + e ^ {\ ln | e ^ {- \ log 2} -1 | – \ frac {\ pi} {6}}} \ derecha | [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x = – \ ln {\ left (1- \ dfrac12 e ^ {- \ frac {\ pi} {6}} \ right)} [/ math]