Cómo integrar [matemáticas] \ int e ^ {2 \ sin x} \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx [/ matemáticas]

Answer 1

Se puede resolver fácilmente utilizando la integración por sustitución.

[matemáticas] \ int {e ^ {2sinx}} sin ^ {2} xcosxdx [/ matemáticas]

Sustituya [math] sinx = t \ implica {cosxdx = dt} [/ math]

[matemáticas] \ int {e ^ {2t} t ^ {2} dt} [/ matemáticas]

Ahora tenemos un producto de dos funciones para integrar, así que aplique la integración por partes

[matemáticas] \ int {udv} = uv – \ int {vdu} [/ matemáticas]

Elija u y dv usando la regla ILATE

[matemáticas] u = t ^ {2} \ implica {du = 2tdt} [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = e ^ {2t} dt \ implica {v = \ dfrac {e ^ {2t}} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces, \ int {e ^ {2t} t ^ {2} dt} = t ^ {2} \ dfrac {e ^ {2t}} {2} – \ int {\ dfrac {e ^ {2t} } {2} \ times {2tdt}} [/ math]

Nuevamente aplique la integración por partes

[matemáticas] = \ dfrac {t ^ {2} e ^ {2t}} {2} – \ Big [\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ int {\ dfrac {e ^ {2t}} {2} dt} \ Big] [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {t ^ {2} e ^ {2t}} {2} – \ dfrac {te ^ {2t}} {2} + \ dfrac {e ^ {2t}} {4} + C [ /matemáticas]

[math] = \ dfrac {e ^ {2t}} {2} \ Big [t ^ {2} – t + \ dfrac {1} {2} \ Big] + C [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {e ^ {2sinx}} {2} \ Big [sin ^ {2} x – sinx + \ dfrac {1} {2} \ Big] + C [/ math]

Answer 2

Sustituir [matemáticas] 2 \ sen x = t [/ matemáticas]; [matemáticas] 2 \ cos x dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int e ^ t \ dfrac {t ^ 2} 4 \ dfrac {dt} 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} 8 \ int e ^ tt ^ 2 dt [/ matemáticas]

Método I : Cortesía: Mayank Mishra por el mismo problema.

[matemáticas] t ^ 2 = (t ^ 2 + 2t) – (2t + 2) + (2 + 0) = \ underbrace {t ^ 2–2t + 2} _ {f (t)} + \ underbrace {2t -2 + 0} _ {f ‘(t)} [/ matemáticas]

Tenemos [math] \ displaystyle \ int e ^ x (f (x) + f ‘(x)) dx = e ^ xf (x) [/ math]

Entonces [matemáticas] I = e ^ t (t ^ 2–2t + 2) + C [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ en caja {\ dfrac {e ^ {2 \ sin x}} 4 (2 \ sin ^ 2 x– \ sin x + 1) + C} [/ matemáticas]

Método II

[matemáticas] = \ dfrac {1} 8 \ dfrac {1} D e ^ tt ^ 2 [/ matemáticas] donde [matemáticas] D = \ dfrac d {dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} 8 e ^ t \ dfrac 1 {D + 1} t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {e ^ t} 8 (1 + D) ^ {- 1} t ^ 2 [/ matemáticas] Expansión por teorema binomial [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {e ^ t} 8 (1-D + D ^ 2-….) t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {e ^ t} 8 (t ^ 2–2t + 2) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {e ^ {2 \ sin x}} 8 (4 \ sin ^ 2 x – 2 \ sin x + 2) + C [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ dfrac {e ^ {2 \ sin x}} 4 (2 \ sin ^ 2 x– \ sin x + 1) + C} [/ math]

Answer 3

Deje [math] I = \ int e ^ {2 \ sin (x)} \ sin ^ 2 (x) \ cos (x) dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int (\ sin ^ 2 (x)) (2e ^ {2 \ sin (x)} \ cos (x)) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} [\ sin ^ 2 (x) e ^ {2 \ sin (x)} – \ int (2 \ sin (x) \ cos (x)) e ^ {2 \ sin (x)} dx] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} [\ sin ^ 2 (x) e ^ {2 \ sin (x)} – \ sin (x) e ^ {2 \ sin (x)} + \ int \ cos (x) e ^ {2 \ sin (x)} dx] [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} e ^ {2 \ sin (x)} [\ sin ^ 2 (x) – \ sin (x) + \ dfrac {1} {2}] + C [/ matemáticas]

Donde ‘C’ está integrando constantes.

El problema ya está hecho.

Answer 4

Deje [math] y = \ sin x [/ math]

[matemáticas] \ implica dy = \ cos x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {2 \ sin x} \ sin ^ 2 x \ cos x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int y ^ 2e ^ {2y} \, dy [/ math]

Deje [math] u = y ^ 2 \ implica du = 2y \, dy [/ math]

y [matemáticas] dv = e ^ {2y} \, dy \ implica v = \ dfrac {1} {2} e ^ {2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ dfrac {1} {2} y ^ 2e ^ {2y} – \ int ye ^ {2y} \, dy [/ math]

Deje [math] u = y \ implica du = dy [/ math]

y [matemáticas] dv = e ^ {2y} \, dy \ implica v = \ dfrac {1} {2} e ^ {2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle y ^ 2e ^ {2y} – \ dfrac {1} {2} ye ^ {2y} + \ int \ dfrac {1} {2} e ^ {2y} \, dy [/ math]

[matemáticas] = y ^ 2e ^ {2y} – \ dfrac {1} {2} ye ^ {2y} + \ dfrac {1} {4} e ^ {2y} + C [/ math]

[matemáticas] = \ sin ^ 2 xe ^ {2 \ sin x} – \ dfrac {1} {2} \ sin xe ^ {2 \ sin x} + \ dfrac {1} {4} e ^ {2 \ sin x} + C [/ matemáticas]

Por favor verifique dos veces para asegurarse

Answer 5

Realice el cambio de la variable [math] sin (x) = t [/ math]. Diferenciar y obtener [matemáticas] cos (x) dx = dt [/ matemáticas]. Después de eso, la integral es simple. Una o dos integraciones simples por partes y ya está.

Como regla general, cada vez que vea senos y cosenos cerca uno del otro en una integral, piense en hacer un cambio de variables. [matemáticas] \ frac {d} {dx} sin (x) = cos (x) [/ matemáticas].

Answer 6

Integrar por partes. Si diferencia [math] e ^ {2 \ sin x} [/ math] obtendrá [math] 2e ^ {2 \ sin x} \ cos x [/ math]. Entonces, la integral de [math] e ^ {2 \ sin x} \ cos x [/ math] es [math] \ frac1 {2} e ^ {2 \ sin x} [/ math] y la integral es [math] \ frac1 {2} e ^ {2 \ sin x} sin ^ 2x – \ int {e ^ {2 \ sin x} \ sin x \ cos x dx} [/ math]. Ahora use el mismo método para el segundo término. Te dejaré terminar mientras aprendes mejor haciendo. Parece que el conocimiento de esa primera derivada se usa tres veces.

Answer 7

Por favor, vea la solución adjunta.

Espero que esto ayude !!

Answer 8

Deje sinx = t

Cosxdx = dt

Por lo tanto, los cambios integrales a e ^ 2t * t ^ 2 dt

Este es de tipo integral u (x) v (x) dx que se puede resolver usando esa fórmula

Answer 9