¿Cuál es la mejor manera de cambiar a coordenadas polares e invertir el orden de integración en integración múltiple? (Ver detalles en foto)

Answer 1

Haz una foto de tu región:

La región está limitada por [matemáticas] x ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 9 \\ x = 0 \\ x = – \ frac {3 \ sqrt3} {2} \\ (x-3) ^ 2 + y ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

Esto se complicará un poco cuando cambiemos el orden de integración, y parece que será más fácil hacer todo el círculo [matemáticas] x ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 0 [/ matemáticas] y restar las áreas blancas.

[matemáticas] \ int_0 ^ 6 \ int _ {- \ sqrt {6y-y ^ 2}} ^ {\ sqrt {6y-y ^ 2}} f (x, y) \; dx \; dy – \ int_ {1.5 } ^ {4.5} \ int _ {- \ sqrt {6y-y ^ 2}} ^ {- \ frac {3 \ sqrt {3}} {2}} f (x, y) \; dx \; dy- \ int_0 ^ 3 \ int_ {3- \ sqrt {9-y ^ 2}} ^ {\ sqrt {6y-y ^ 2}} f (x, y) \; dx \; dy [/ math]

Coordenadas polares:

[matemáticas] x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ dx \; dy = r \; dr \; d \ theta \\ f (r, \ theta) = \ dfrac {r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} {1 + r ^ 2} [/ matemáticas]

nuestros límites son [matemática] r = 6 \ sin \ theta \ text {con} \ theta \ in [0, \ pi] \\ r = 6 \ cos \ theta \ text {with} \ theta \ in [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2}] \\ r = – \ frac {3 \ sqrt 3} {2} \ sec \ theta \ text {with} \ theta \ in [\ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2}] [/ math]

No hay nada en nuestra región para [math] \ theta \ in [0, \ frac {\ pi} {4}] [/ math]

La línea interseca el círculo en [matemáticas] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ dfrac {1.5} {\ frac {-3 \ sqrt 3} {2}} = \ frac {5 \ pi} {6} \ \\ theta = \ tan ^ {- 1} \ dfrac {4.5} {- \ frac {3 \ sqrt 3} {2}} = \ frac {2 \ pi} {3} [/ math]

[matemáticas] \ int _ {\ frac {\ pi} 4} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ int_ {6 \ cos \ theta} ^ {6 \ sin \ theta} f (r, \ theta) r \; dr \; d \ theta + \ int _ {\ frac {\ pi} 2} ^ {\ pi} \ int_0 ^ {6 \ sin \ theta} f (r, \ theta) r \; dr \; d \ theta- \ int _ {\ frac {2 \ pi} 3} ^ {\ frac {5 \ pi} 6} \ int _ {- \ frac {3 \ sqrt 3} {2} \ sec \ theta} ^ {6 \ sin \ theta} f (r, \ theta) r \; dr \; d \ theta [/ math]

Espero tener ese derecho, y espero que ayude

Answer 2

La primera parte, donde cambia de dydx a dxdy es la más fácil. No hay que calcular nada, solo reescribir. Verá, en la segunda integral doble, la primera integral, la limitada de 0 a 3, está relacionada con [math] dx [/ math]; y el segundo, a [math] dy [/ math]. Entonces su integral es:

[math] \ int_ {0} ^ {3} \ int_ {sth} ^ {sth} f (x) dy dx [/ math]

Reescrito:

[math] \ int_ {sth} ^ {sth} \ int_ {0} ^ {3} f (x) dx dy [/ math]

Porque no importa lo que intentes primero: x o y.

Para la segunda parte, solo use las reglas de conversión de cartesiano a polar:

[matemáticas] x = r cos (φ) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = r sin (φ) [/ matemáticas]

También deberá cambiar sus límites de integración en consecuencia.

Repita el proceso para otras integrales dobles en la suma.

Editar: algo es “algo”, o lo que sean esos límites de integración. Soy demasiado vago para escribirlos.