Cómo demostrar que [matemática] x – \ ln ^ xx = 0 [/ matemática] tiene una solución en el intervalo [matemática] (4, 5) [/ matemática] sin usar una calculadora

Answer 1

Voy a suponer que su línea “sin calculadora” implica que no podemos usar aproximaciones para números irracionales, es decir, [math] \ sqrt {2} \ sim 1.414 [/ math] o cualquier otra cosa.

Primero, probamos [matemáticas] f (4)> 0 [/ matemáticas]. Para hacer esto, debemos probar que [math] \ ln 4 <\ sqrt {2}, [/ math] o equivalente [math] 4 <e ^ {\ sqrt {2}}. [/ Math] Tenga en cuenta el hecho de que [matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!}. [/ matemáticas]

De esto, tenemos que [matemáticas] e ^ {\ sqrt {2}} = 1+ \ sqrt {2} + \ frac {2} {2} + \ frac {2 \ sqrt {2}} {6} + \ frac {4} {24} + \ dots \ ge 1+ \ sqrt {2} + \ frac {2} {2} + \ frac {2 \ sqrt {2}} {6} + \ frac {4} { 24} = \ frac {13 + 8 \ sqrt {2}} {6}> 4 [/ matemáticas].

La última desigualdad se deduce de [matemáticas] 2> (\ frac {11} {8}) ^ 2 [/ matemáticas]

Luego, demostramos [math] f (5) 5 ^ {\ frac {1} {5}} [/ math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] 5 ^ 2 <2 ^ 5. [/ Matemáticas] De esto tenemos que [matemáticas] 5 ^ {\ frac {1} {5}} <2 ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {2}. [/ math]

Por lo tanto, debemos demostrar que [matemáticas] e ^ {\ sqrt {2}} <5 [/ matemáticas]

Luego proceda señalando el hecho de que esto es equivalente a [matemáticas] e ^ {- \ sqrt {2}}> \ frac {1} {5}. [/ Matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- \ sqrt {2}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ sqrt {2} ^ k (-1) ^ {k}} {k!} = 1- \ sqrt {2} + \ frac {2} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {3} – \ frac {1} {6} – \ frac {\ sqrt {2}} {30 } + \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {(\ sqrt {2}) ^ {2k} \ times (2k + 1) – (\ sqrt {2}) ^ {2k + 1} \ veces 2k} {(2k)!} [/ math]

[matemáticas]> 1- \ sqrt {2} + \ frac {2} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {3} – \ frac {1} {6} – \ frac {\ sqrt {2 }} {30} = \ frac {65–41 \ sqrt {2}} {30}> \ frac {1} {5} [/ matemáticas]

La última desigualdad se deduce de [matemáticas] (\ frac {59} {41}) ^ 2> 2 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] f (x) = x – (\ ln x) ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (4) = 4 – (\ ln 4) ^ 4 [/ matemáticas]

Sabemos [matemáticas] \ ln 2 \ aproximadamente 0.693 [/ matemáticas],

[matemáticas] f (4) \ aprox 4- (2 \ veces 0.693) ^ 4 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] 2 \ times 0.693 <1.4 [/ math]

[matemáticas] \ implica f (4) \ aprox 4- (1.4) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.4 ^ 2 = 1.96 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1.4 ^ 4 = (1.96) ^ 2 <2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] f (4) = 4- \ ln ^ 4 4> 0 [/ matemáticas]

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La gráfica de [math] \ ln x [/ math] aumenta rápidamente cerca de [math] x = 0 [/ math], y luego disminuye a medida que [math] x [/ math] se hace más y más grande. Sin una calculadora, al menos puedo decir que [matemáticas] \ ln 0 = – \ infty, \ ln 1 = 0, \ ln 2 \ aprox 0.693 [/ matemáticas] y así sucesivamente. Entonces sería seguro decir que desde

[matemáticas] 5> 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln 5> \ ln 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln ^ 5 5> \ ln ^ 5 4> \ ln ^ 4 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln ^ 5 5> 4 [/ matemáticas]

y [matemáticas] \ ln 5 <5 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ ln ^ 5 5 <5 ^ 5 [/ matemáticas]

y hemos creado un límite: [matemáticas] 4 <\ ln ^ 5 5 <5 ^ 5 [/ matemáticas]

Ahora [math] \ ln ^ 5 5 [/ math] ni siquiera estará cerca de [math] 5 ^ 5 [/ math], pero al menos podemos implicar que es más grande que [math] 5 [/ math]

Entonces [matemáticas] f (5) = 5- \ ln ^ 5 5 = 5 – (> 5) <0 [/ matemáticas]

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No podría pensar en otra forma de probar esto. Puede haber errores en mi respuesta también.

Answer 3

OK, entonces sabes esto probablemente de memoria que [math] \ ln 2 = 0.693 [/ math]. Después de esto, necesita algunas habilidades de estimación leve. Por lo tanto, [matemáticas] \ ln 4 = 2 \ ln 2 = 2 \ veces 0.693 <1.4 [/ matemáticas]. Luego, [matemáticas] 1.4 ^ 2 = 1.96 [/ matemáticas] y por lo tanto, [matemáticas] 1.4 ^ 4 = 1.96 ^ 2 <2 ^ 2 <4 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] 4 - \ ln ^ 44> 0 [/ matemáticas].

Además, [math] \ mathrm {e} \ aprox 2.8 [/ math]. Sabemos que [matemática] \ sqrt {3} \ aprox 1.7 [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {2.56} = 1.6 [/ matemática]. Como [math] 5 [/ math] es aproximadamente [math] \ mathrm {e} \ times 1.7 [/ math] más o menos (estimación muy aproximada pero lo suficientemente buena para el trabajo, usted sabe que [math] 5> \ mathrm { e} ^ {1.5} = \ mathrm {e} \ times \ sqrt {\ mathrm {e}} [/ math]. Por lo tanto, [math] \ ln {5}> 1.5 [/ math]. Luego, tenga en cuenta que [ matemática] 1.5 ^ 2 = 2.25> \ sqrt {5} [/ matemática]. Así [matemática] 1.5 ^ 4> 5 \ implica 1.5 ^ 5> 5 [/ matemática]. Por lo tanto, definitivamente podemos decir que [matemática] 5 – \ ln ^ 55 <0 [/ matemáticas].