Cómo demostrar que mcd [matemáticas] (n ^ 2 + 20; n ^ 2 + 20 + 2n + 1) [/ matemáticas] siempre divide 81 para cualquier número natural n

Answer 1

Primero, voy a usar el hecho de que [matemáticas] (a, b) = (ab, b) [/ matemáticas] para limpiar esto un poco.

[matemáticas] (n ^ 2 + 20, n ^ 2 + 20 + 2n + 1) = (n ^ 2 + 20, 2n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n ^ 2 + 20 – 4 (2n + 1), 2n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n ^ 2 – 8n + 16, 2n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ izquierda ((n – 4) ^ 2, 2n + 1 \ derecha) [/ matemáticas].

Ahora, consideremos qué primos [math] p [/ math] pueden dividir esta expresión. Tenga en cuenta que esto es equivalente a preguntar qué [matemática] p [/ matemática] divide tanto [matemática] n – 4 [/ matemática] como [matemática] 2n + 1 [/ matemática].

Bueno, si [matemática] n – 4 \ equiv 0 \ mod p [/ matemática], entonces claramente [matemática] 2n + 1 \ equiv 9 \ mod p [/ matemática]. Esto solo puede ser cero si [matemática] p = 3 [/ matemática]. Entonces, hemos demostrado que el mcd es una potencia de 3. Queda por demostrar que no puede ser mayor que 81.

Suponga que [matemáticas] 2n + 1 \ equiv 0 \ mod 3 ^ 5 [/ matemáticas]. Entonces [math] n \ equiv 121 [/ math], y por lo tanto [math] (n – 4) ^ 2 \ equiv 81 \ not \ equiv 0 \ mod 3 ^ 5 [/ math]. Hecho.

Probablemente haya una manera más fácil de hacer esto, pero esto es lo que naturalmente me vino a la mente.

Answer 2

Arregle [math] n \ in \ mathbb N [/ math]. Deje [math] g = \ gcd \ big (n ^ 2 + 20, (n + 1) ^ 2 + 20 \ big) [/ math]. Entonces [math] g [/ math] divide su diferencia [math] 2n + 1 [/ math], por lo que [math] g [/ math] debe ser impar.

Ahora [matemática] 2n + 1 \ equiv 0 \ pmod {g} [/ matemática] implica [matemática] 2n \ equiv -1 \ equiv g-1 \ ​​pmod {g} [/ matemática], de modo que [matemática] n \ equiv \ frac {g-1} {2} \ pmod {g} [/ math].

De [math] g \ mid (n ^ 2 + 20) [/ math] por lo tanto, concluimos que [math] g \ mid \ left (\ big (\ frac {g-1} {2} \ big) ^ 2 + 20 \ right) = \ frac {g ^ 2–2g + 81} {4} [/ math]. Por lo tanto, [math] g \ mid (g ^ 2–2g + 81) [/ math] o [math] g \ mid 81 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Aquí hay una solución mucho más avanzada.

Los polinomios [matemática] f (n) = n ^ 2 + 20 [/ matemática] y [matemática] g (n) = n ^ 2 + 2n + 21 [/ matemática] tienen un número asociado que se llama resultante , [ matemáticas] R = \ textrm {Res} (f, g) [/ matemáticas]. La resultante se puede calcular de varias maneras, y es cero cuando los dos polinomios tienen una raíz común. Una forma de hacer el cálculo es evaluar

[matemáticas] R = \ displaystyle \ prod_ {f (x) = 0, g (y) = 0} (x – y) [/ matemáticas]

Como esto es simétrico en las raíces de [math] f [/ math] y [math] g [/ math], que son polinomios monicos con coeficientes enteros, es un entero. Podemos calcularlo exactamente. Deje que [math] x_1, x_2 [/ math] y [math] y_1, y_2 [/ math] sean las raíces de [math] f [/ math] y [math] g [/ math], respectivamente. Tenemos

[matemáticas] \ displaystyle R = (x_1 – y_1) (x_2 – y_1) (x_1 – y_2) (x_2 – y_2) = (y_1 ^ 2 + 20) (y_2 ^ 2 + 20) = (y_1 y_2) ^ 2 + 20 (y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2) + 400 = 841 + 20 ((y_1 + y_2) ^ 2 – 2 y_1 y_2) = 841 – 20 \ cdot 38 = 81 [/ matemáticas]

Mientras que sobre anillos conmutativos arbitrarios [math] f [/ math] y [math] g [/ math] pueden tener más de dos raíces, podemos elegir dos raíces [math] x_1, x_2 [/ math] de tal manera que [math] f (n) = (n – x_1) (n – x_2) [/ math] y haga el cálculo anterior, por lo tanto, esto prueba que la resultante no depende de la elección de las raíces (siempre que se cumpla esta condición). Si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] comparten un módulo raíz algunos [math] N [/ math], entonces es obvio a partir de este cálculo que tendríamos [math] 81 \ equiv 0 \ pmod {N} [/ math], en otras palabras, [math] N [/ math] dividiría [math] 81 [/ math]. Ahora, tenga en cuenta que [math] f [/ math] y [math] g [/ math] comparten una raíz precisamente cuando ambos son divisibles por [math] N [/ math].

Answer 4

Mi enfoque es el mismo que el de Senia en la primera mitad, pero un poco diferente al suyo en la segunda mitad.

Del algoritmo euclidiano, [matemáticas] (n ^ 2 + 20, n ^ 2 + 20 + 2n + 1) = (n ^ 2 + 20, 2n + 1) = ((n-4) ^ 2, 2n + 1) [/matemáticas]

[matemáticas] (n-4) ^ 2 [/ matemáticas] tienen los mismos números primos con [matemáticas] n-4 [/ matemáticas]

Sea [math] (n-4, 2n + 1) = k, [/ math] tenemos, [math] n-4 = ak, 2n + 1 = bk, (a, b) = 1 [/ math]

Cancelar [matemática] n, [/ matemática] [matemática] bk – 2ak = 9, [/ matemática] entonces [matemática] k | 9 [/ matemática]. Eso también significa [matemáticas] ((n-4) ^ 2, 2n + 1) | k ^ 2 | 81. [/ Matemáticas] (Porque [matemáticas] (a ^ 2, b) = 1 [/ matemáticas])

Answer 5

[matemáticas] g = \ gcd (n ^ 2 + 20, n ^ 2 + 20 + 2n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] g | n ^ 2 + 20 [/ matemáticas]

[matemáticas] g | 2n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] g | 4 (n ^ 2 + 20) – (2n-1) (2n + 1) = 81 [/ matemáticas]