Por definición, si [matemática] E [/ matemática] contiene un subcampo [matemática] F [/ matemática], entonces [matemática] E [/ matemática] se dice que es un campo de extensión de [matemática] F [/ matemática], denotado [matemáticas] E / F [/ matemáticas]. (tenga en cuenta que la notación tradicional para una extensión de campo es [matemática] K [/ matemática], no [matemática] E [/ matemática]).
Deje que [math] \ phi: F \ rightarrow E [/ math] sea su homomorfismo inyectivo.
Entonces claramente [math] \ phi (F) [/ math] es un subcampo de [math] E [/ math] por la definición anterior (no es difícil ver que la imagen de un campo es un campo por la definición de un homomorfismo). Por lo tanto, [math] E [/ math] es una extensión de [math] \ phi (F) [/ math]. Ahora aplique la primera teoría del isomorfismo: [matemática] \ phi (F) \ cong F / \ ker \ phi \ cong F [/ matemática] ya que [matemática] \ phi [/ matemática] es inyectiva [matemática] \ Rightarrow \ ker \ phi [/ math] es trivial.