Respuesta corta: muy probablemente, no existe una fórmula con las funciones habituales que resuelva su problema.
Primero, no hay necesidad de cuatro parámetros, solo tres:
[matemáticas] ae ^ {k (xd)} + c = ae ^ {kx-kd} + c [/ matemáticas]
[matemáticas] = ae ^ {- kd} e ^ {kx} + c [/ matemáticas]
- ¿Cuál es una explicación intuitiva del siguiente hecho matemático: [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ 2}} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [ /matemáticas]?
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- Cómo dibujar el pecado (ln x)
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- ¿Qué es m si [matemáticas] 81 ^ {1-m} = 9 \ cdot27 ^ {m-1} \ cdot3 (3 ^ {1 + m}) [/ matemáticas]?
Dado que [math] ae ^ {- kd} [/ math] es solo un número, es posible tratarlo como su propio parámetro. Llámelo [math] b [/ math], por lo que la función exponencial se convierte en [math] y = be ^ {kx} + c [/ math].
Por lo tanto, tres puntos deberían ser suficientes para determinar esta función.
Deje [math] \ left (x_1, y_1 \ right) [/ math], [math] \ left (x_2, y_2 \ right) [/ math] y [math] \ left (x_3, y_3 \ right) [/ matemáticas] sean los tres puntos. Entonces,
[matemáticas] y_1 = be ^ {kx_1} + c [/ matemáticas]
[matemáticas] y_2 = be ^ {kx_2} + c [/ matemáticas]
[matemáticas] y_3 = be ^ {kx_3} + c [/ matemáticas]
Restando la primera ecuación de las otras dos para eliminar [matemáticas] c [/ matemáticas]:
[matemáticas] y_2 – y_1 = ser ^ {kx_2} – ser ^ {kx_1} [/ matemáticas]
[matemáticas] y_3 – y_1 = ser ^ {kx_3} – ser ^ {kx_1} [/ matemáticas]
Simplificando:
[matemáticas] y_2 – y_1 = b \ izquierda (e ^ {kx_2} – e ^ {kx_1} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] y_3 – y_1 = b \ izquierda (e ^ {kx_3} – e ^ {kx_1} \ derecha) [/ matemáticas]
Divisor:
[matemáticas] \ frac {y_2 – y_1} {y_3 – y_1} = \ frac {e ^ {kx_2} – e ^ {kx_1}} {e ^ {kx_3} – e ^ {kx_1}} [/ math]
[matemáticas] \ frac {y_2 – y_1} {y_3 – y_1} = \ frac {e ^ {k \ left (x_2-x_1 \ right)} – 1} {e ^ {k \ left (x_3-x_1 \ right) } – 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {y_2 – y_1} {y_3 – y_1} = \ frac {{e ^ k} ^ {\ left (x_2-x_1 \ right)} – 1} {{e ^ k} ^ {\ left ( x_3-x_1 \ right)} – 1} [/ math]
Deje [math] Y = \ frac {y_2 – y_1} {y_3 – y_1} [/ math], [math] K = e ^ k [/ math], [math] X_2 = x_2 – x_1 [/ math], y [matemáticas] X_3 = x_3 – x_1 [/ matemáticas]. Entonces:
[matemáticas] Y = \ frac {K ^ {X_2} – 1} {K ^ {X_3} – 1} [/ matemáticas]
[matemática] Y \ izquierda (K ^ {X_3} – 1 \ derecha) = K ^ {X_2} – 1 [/ matemática]
[matemáticas] YK ^ {X_3} – Y = K ^ {X_2} – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] K ^ {X_2} – YK ^ {X_3} + Y – 1 = 0 [/ matemáticas]
Vemos que hay un problema. Este tipo de ecuación, en general, no tiene soluciones en términos de las operaciones y raíces aritméticas habituales (sí, [matemática] K = 1 [/ matemática] es una raíz, pero, en general, es extraña). Incluso con [matemática] X_2 = 6 [/ matemática] y [matemática] X_3 = 1 [/ matemática], esto se convierte en una ecuación de grado de [matemática] 5 [/ matemática] una vez que la raíz extraña se factoriza, y otras opciones de [math] x [/ math] s será aún más difícil. Por lo tanto, es al menos extraordinariamente difícil obtener una expresión de forma cerrada para [math] K [/ math]. Sospecho firmemente que no hay una fórmula general para los parámetros, aunque no tengo una prueba rigurosa.
Por supuesto, es posible resolver, digamos, [matemáticas] Y = \ frac {K ^ {X_2} – 1} {K ^ {X_3} – 1} [/ matemáticas] numéricamente para [matemáticas] K [/ matemáticas] , y use [math] k = \ ln (K) [/ math]. Con eso conocido, [math] b [/ math] y [math] c [/ math] pueden resolverse a partir de las ecuaciones originales, que se vuelven lineales si [math] k [/ math] se trata como una constante.