Cómo integrar [matemática] \ dfrac {1} {\ sin (2x) \ sqrt {\ tan ^ 2 x – \ tan ^ 2 a}} [/ matemática]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {1} {\ sin 2x \ sqrt {\ tan ^ 2 x – \ tan ^ 2 a}} \ mathrm {d} x [/ math]

Ahora, usando la fórmula del ángulo doble, podemos escribir [math] \ displaystyle \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {1} {2 \ sin x \ cos x \ sqrt {\ tan ^ 2 x – \ tan ^ 2 a}} \ mathrm {d} x [/ math]

Dividiendo [matemáticas] \ displaystyle \ cos ^ 2 x [/ matemáticas] en numerador y denominador.

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {\ sec ^ 2 x} {2 \ tan x \ sqrt {\ tan ^ 2 x – \ tan ^ 2 a}} \ mathrm {d} x [/ math]

Ahora, deje que [math] \ displaystyle u = \ tan x [/ math] que implica [math] \ displaystyle \ mathrm {d} u = \ sec ^ 2 x \ mathrm {d} x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto I = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ mathrm {d} u} {u \ sqrt {u ^ 2 – \ tan ^ 2 a}} [/ math]

Ahora, recuerde esta fórmula [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} = \ frac {1} {a} \ sec ^ {- 1} \ left (\ frac {x} {a} \ right) + C [/ math]. Aplicandolo, tenemos;

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {1} {2 \ tan a} \ sec ^ {- 1} \ left (\ frac {\ tan x} {\ tan a} \ right) + C [/ math]

Answer 2

Pruebe la sustitución [math] tan ^ 2 (x) -tan ^ 2 (a) [/ math] como [math] t. [/matemáticas]

La respuesta sera

[matemáticas] – \ frac {sin (\ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}) \ times tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {a} {\ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} \ Big)} {2a \ times \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} + c [/ math]