Cómo encontrar el límite de estas dos funciones

Answer 1

En realidad, es bueno que no esté teniendo un momento “fácil” en este problema. Significa que has tenido la previsión de no adivinar erróneamente un límite de [matemáticas] L = 0 [/ matemáticas]. Para primer orden, [matemática] g (x) \ sim 4x + \ sqrt {16x ^ 2} + \ matemática {O} (1) = 4x + | 4x | + \ mathcal {O} (1) = \ mathcal {O} (1) [/ math] y su intuición es correcta.

Puede escribir [matemáticas] \ sqrt {16x ^ 2 + 12x-3} = | 4x | \ sqrt {1 + 3 / (4x) -3 / (16x ^ 2)} \ sim | 4x | (1 + 1 / 2 \ cdot (3 / (4x)) + \ mathcal {O} (x ^ {- 2}) = 4 | x | + 3/2 + \ mathcal {O} (x ^ {- 1}), [ /matemáticas]

y entonces el límite es [matemáticas] L = -3/2 [/ matemáticas].

La forma más común es multiplicar por conjugados y obtener [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow – \ infty} g (x) \\ = \ lim (4x + \ sqrt {16x ^ 2 + 12x-3}) \ cdot \ frac {4x- \ sqrt {16x ^ 2 + 12x-3}} {4x- \ sqrt {16x ^ 2 + 12x-3}} \\ = \ lim \ frac {16x ^ 2- (16x ^ 2 + 12x- 3)} {4x- \ sqrt {16x ^ 2 + 12x-3}} \\ = \ lim \ frac {-12x + 3} {4x (1+ \ sqrt {1 + 3 / (4x) -3 / ( 16x ^ 2)})} = -12/8 = -3/2, [/ matemáticas]

como se calculó anteriormente.

Answer 2

Proporcionaré una respuesta para (c):

Tomemos el límite interno. Entonces nosotros tenemos:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 3 + 4}} = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 3} \ cdot \ sqrt {1+ \ frac {4} {x ^ 3}}} = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {x} {x ^ {\ frac {3} {2} } \ cdot \ sqrt {1+ \ frac {4} {x ^ 3}}} = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {x ^ {1- \ frac {3} {2}}} { \ sqrt {1+ \ frac {4} {x ^ 3}}} = \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {x ^ {- \ frac {1} {2}}} {\ sqrt {1 + \ frac {4} {x ^ 3}}} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {x}} \ cdot \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ frac {4} {x ^ 3}}} = 0 \ cdot \ frac {1} {\ sqrt {1 + 0}} = 0 [/ math]

Además de eso, [matemáticas] \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 3 + 4}}> 0 [/ matemáticas] cuando x tiende al infinito. Entonces, por sustitución a nuestro límite original, ocurre que:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} ln \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 3 + 4}} = \ lim_ {u \ rightarrow +0 ^ {+}} ln (u) = – \ infty [/ math]