El patrón que descubrió es que las decenas de dígitos de las potencias de 2 son eventualmente periódicas, con un período 20. (Aunque en realidad comienza como 0 por un tiempo antes de ingresar a este ciclo)
Esto no es una gran sorpresa. En realidad, si miramos no solo los diez dígitos, sino los dos últimos dígitos, estos también son eventualmente periódicos, con un período de 20: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92 , 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, y luego de nuevo a 04, 08, 16, …
Quizás a partir de esto, puede ver por qué debe ser eventualmente periódico: solo hay muchas maneras en que pueden ir los dos últimos dígitos, y los siguientes dos dígitos se pueden determinar a partir de los últimos dos dígitos, por lo que eventualmente debe volver a un ciclo.
En cuanto a por qué el período es 20, esto es un poco más complicado de explicar, pero todo se reduce a esto: según el Teorema del resto chino, para conocer un valor mod 10 ^ 2, solo necesitamos saberlo mod 2 ^ 2 y mod 5 ^ 2 (los factores de potencia primos de 10 ^ 2). Mod 2 ^ 2, las potencias de 2 eventualmente se vuelven y permanecen simplemente cero. Mod 5 ^ 2, hay (5 – 1) * 5 ^ (2 – 1) = 20 valores coprimos a 5, incluido 2 en sí, y por lo tanto, según el teorema de Lagrange en teoría de grupos, el tamaño del bucle debe dividir 20.
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De la misma manera, entonces, descubriremos que los diez dígitos finales (es decir, desde el dígito de las unidades hasta el dígito de miles de millones) de potencias de 2 deben ser eventualmente periódicos, con un período de división (5 – 1) * 5 ^ (10 – 1) = 7812500. (De hecho, por la existencia y las propiedades del “logaritmo p-adic”, debido a que 2 es el llamado módulo de “raíz primitiva” 5 ^ 2, podemos concluir que 2 es un módulo de raíz primitiva cada potencia de 5, y por lo tanto la longitud del bucle será precisamente 7812500. Pido disculpas por no tener tiempo suficiente para explicar esto en detalle en este momento, pero si busca estos términos, puede encontrar explicaciones suficientes en otros lugares).
Finalmente, está el patrón “par, par, impar, impar” que observó. Esto es esencialmente el mismo tipo de cosas que el anterior, pero con un módulo ligeramente diferente. Para saber si el dígito de decenas de un valor es par o impar, es suficiente conocer el valor mod 2 * ten, es decir, mod 2 ^ 2 y mod 5 ^ 1, y por lo tanto la longitud del ciclo de interés aquí para potencias de 2 es solo (5 – 1) * 5 ^ (1 – 1) = 4, como has notado. En términos más generales, para saber si los miles de millones de dígitos de un valor es par o impar, es suficiente conocer el valor mod 2 * billón, es decir, mod 2 ^ 10 y mod 5 ^ 9, y así tendremos un eventual patrón de bucle con longitud de bucle (5 – 1) * 5 ^ (9 – 1) = 1562500.
Para descubrir en cambio cualquier patrón en el mod 7 de miles de millones de dígitos, debemos observar las potencias de 2 mod 7 mil millones, es decir, mod 7, mod 2 ^ 9 y mod 5 ^ 9. Las potencias de 2 bucles con el período 3 mod 7, y con el período 1562500 mod 5 ^ 9, mientras que, por supuesto, eventualmente se vuelven constantemente cero mod 2 ^ 9. El mínimo común múltiplo de 3 y 1562500 es 3 * 1562500 = 4687500. Por lo tanto, los miles de millones de dígitos de potencias de 2 módulo 7 son eventualmente periódicos con el período 4687500. Sin embargo, nada lo obliga a seguir ningún patrón particularmente agradable más allá de eso, en la medida en que Soy consciente; no hay nada que hacer sino evaluarlo y ver cuál es el patrón.
En cuanto a la respuesta específica a su pregunta concreta específica, como se señala en los comentarios sobre la pregunta anterior: no hay patrones particularmente agradables, que yo sepa, aparte de que las cosas se ven obligadas a repetirse con ciertos períodos. Por lo tanto, no se puede hacer nada más que simplemente calcular cuáles son esos bucles de valores (como lo hizo para el dígito de decenas). De hecho, en el rango de interés, ni siquiera hay ninguna razón para preocuparse por los bucles; el bucle comienza mucho, mucho más tarde. Entonces, todo lo que importa es el cálculo directo:
Las partes de la parte grande de las partes son de 7 y 10 de 7 de 7 de 9 de septiembre de 2013. ; en particular, los miles de millones de dígitos son 7, 4, 8, 7, 4, 9, 9, 9, 8, 6, 2, 4, 8, 7, 4, 9, 9, y así obtenemos un billón de 8 dígitos cuando n = 36, 42 o 46, y nunca un billón de dígitos de 1 en este rango.