[matemáticas] \ text {Puede algo así como} \ dfrac {\ displaystyle \ sum_ {x = 0} ^ {\ infty} f (x)} {\ displaystyle \ sum_ {x = 0} ^ {\ infty} g (x )} = \ displaystyle \ sum_ {x = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {f (x)} {g (x)} \ text {be done?} [/ math]

Answer 1

Si. Por ejemplo, considere si f envía todas las x a 0, y g no tiene ceros en los enteros no negativos (que no necesito especificar; debe suponer esto por la naturaleza de la ecuación). Sin embargo, supongo que quieres una solución más interesante.

También tenemos secuencias finitas {a} n, {b} m (todas distintas de cero) donde (a1 + a2 +… + an) / (b1 +… + bm) es igual a1 / b1 + a2 / b2 +… + a (min (m , n)) / b (min (m, n)). En cualquier caso, podemos encontrar infinitas soluciones para cualquier secuencia que tenga términos adicionales en función de los términos de la secuencia más corta; si ninguna de las secuencias es más corta, entonces encontramos exactamente una solución para los términos de cada secuencia en términos de la otra.

Puede considerar hacer este anuncio infnitum, colocando nuevos términos en cada secuencia para encontrar exactamente el tipo de funciones que desea, es decir, cualquier función fyg que interpola {a} n y {b} m, respectivamente.

Si estas funciones son fáciles de expresar depende de la naturaleza de estas secuencias, pero al final no importa: las funciones son funciones, no importa cuán raras sean.

Answer 2

No soy matemático, por lo que mi respuesta será incompleta, pero tengo una idea para mejorarla.

Tome [math] f (x) = g (x) [/ math] de manera que sus series converjan. Como son iguales, sus sumas son iguales y tenemos:

[matemáticas] \ dfrac {\ displaystyle \ sum ^ {+ \ infty} _ {x = 0} f (x)} {\ displaystyle \ sum ^ {+ \ infty} _ {x = 0} g (x)} = 1 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] \ dfrac {f (x)} {g (x)} = 1 [/ matemáticas] y la suma de eso diverge porque el límite es diferente de 0.

Entonces no, no funciona. Sin embargo, puede preguntar, ¿cuáles son las condiciones necesarias para que esa propiedad funcione? No puedo ayudarlo aquí, pero dudo que haya soluciones no triviales a su problema.

Answer 3

No, no en general, si alguna vez. Esencialmente, es porque

[matemáticas] \ frac {2} {a + b} \ neq \ frac {1} {b} + \ frac {1} {a} \ tag {1}. [/ matemáticas]

Además, si [math] \ sum_ {k} g (k) <\ infty [/ math] entonces [math] \ lim_ {k \ to \ infty} g (k) = 0 [/ math] y de manera similar para [math ] f (k). [/ math] Eso no implica que

[matemáticas] \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {f (k)} {g (k)} = 0, \ tag {2} [/ matemáticas]

y como (2) es una condición necesaria (pero no suficiente) para la convergencia de la suma con los términos [matemática] f (k) / g (k) [/ matemática], no es necesario que la nueva suma sea convergente, mucho menos igual a la razón de las sumas.

Answer 4

Como está preguntando si se puede hacer, supongo que sabe que no es cierto en general.

Sí, se puede hacer. Por ejemplo, si [math] f (x) \ equiv 0 [/ math] funcionará.

La pregunta más interesante es para qué funciones se puede hacer. Necesitamos una función g tal que:

[matemáticas] \ frac {\ sum f} {\ sum g} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ sum f} {a} = \ sum g [/ matemáticas]

Tome una serie condicionalmente convergente, g, de modo que [math] \ sum \ frac {f} {g} [/ math] sea condicionalmente convergente. Cualquiera de estas series se puede reorganizar para sumar cualquier valor. De hecho, se puede hacer de infinitas maneras. Esto nos da la libertad suficiente para reorganizar g para obtener cualquier resultado para [math] \ sum \ frac {f} {g} [/ math]. He omitido la lógica rigurosa porque se sigue bastante rápido de algunos teoremas bien establecidos sobre series condicionalmente convergentes.

Por lo tanto, en realidad es posible encontrar ag para cualquier f convergente.