Cómo evaluar el PDF de la suma de dos variables aleatorias independientes distribuidas de acuerdo con [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {x}} – 1 [/ matemáticas]

Answer 1

1. Como el posible valor de x no está definido, supongo que puede tomar valores entre 0 y 1, ya que satisface la propiedad de la función de densidad de que todas las probabilidades suman 1.

2. Sean X e Y dos variables aleatorias con pdf fx (x) y fy (x), y Z = X + Y.

3. La función de densidad de la suma viene dada por

4. Para validar, la integral con todos los valores posibles de z debe sumar 1, y dado que z puede tomar valores entre 0 y 1:

Answer 2

Considere [math] F_Z (z) [/ math] para los valores de [math] z \ in (1,2] [/ math]

[matemática] F_X (t) [/ matemática] es 0 para t> = 1 y [matemática] F_Y (zt) [/ matemática] es 0 para [matemática] t \ notin (z-1, z) [/ matemática]

Entonces, para z> 1, ya no puede considerar que el límite de integración sea 0 y z si el integrando fuera [math] 1 / \ sqrt {t} – 1 [/ math] y [math] 1 / \ sqrt {zt } -1 [/ math] (Spoilers a continuación)

Entonces su error es que consideró [matemáticas] F_Z (z) = \ pi – 4 \ sqrt {z} + z; z \ in [0,2] [/ math] cuando de hecho la expresión solo es válida para z de 0 a 1.

(Spoiler: tiene que ser de z-1 a 1.)

Answer 3

Probablemente una forma más simple de abordar este problema es considerar el cdf de

[matemáticas] F_Z (z) = P (X + Y \ le z) [/ matemáticas]

Si [matemáticas] z <0, F_Z (z) = 0 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] 0

Si [matemática] 1 \ le z <2 \ quad F_Z (z) = \ int_ {z-1} ^ 1 \ int_ {zx} ^ 1 F_X (x) F_Y (y) dydx [/ math]

Si [matemática] 2 \ le z \ quad F_Z (z) = 1 [/ matemática]

y el pdf puede derivarse por diferenciación.

También puede derivar el pdf utilizando una transformación de variables. yo recomendaria

[matemática] Z = X + Y [/ matemática], y

[matemáticas] T = XY [/ matemáticas]

No veo cómo has derivado la expresión de convolución. Usando la técnica de transformación de variables, debe considerar mucho el soporte de las variables transformadas.