¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas para la ecuación [matemáticas] x + y + 3z = 33 [/ matemáticas]?

Answer 1

Veamos las restricciones dadas:

• x, y, z son enteros no negativos => [matemática] x> = 0, y> = 0, z> = 0 [/ matemática]
• [matemáticas] x + y + 3z = 33 => y = 33 – 3z – x – (1) [/ matemáticas]

12 valores posibles para z son [matemática] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 [/ matemática]

• Si z = 0, From (1), y = 33 – x => x puede tener valores de 0, 1, .. 33 => 34 posibilidades
• Si z = 1, desde (1), y = 33 – 3 – x = 30 – x => x puede tener 31 posibilidades (0,1,2, .. 30)
• Si z = 2, desde (1), y = 33 – 6 – x = 27 – x => x puede tener 28 posibilidades (0,1,2, .. 27) y así sucesivamente
• Si z = 11, de (1) y = 33 – 33 – x = -x => Solo una combinación posible con x = y = 0

Posibilidades totales = [matemáticas] 34 + 31 + 28 +… + 1 [/ matemáticas]

Esto es AP con a = 34, d = -3 yn = 12

Posibilidades totales = [matemáticas] 34 + 31 + 28 +… + 1 = \ frac {12} {2} * [(2 * 34) + (12–1) * (- 3)] = 6 * [68 – 33 ] = 210 [/ matemáticas]

Resp .: 210

Answer 2

Gracias por A 2 A,

X + Y + 3Z = 33, X + Y = 33–3Z, Z puede tener un valor de 0 a 11 (para cumplir la condición de entero no negativo), ahora X + Y puede tener un valor de 33–3z + 1 (por ejemplo, si X + Y = 3, puede tener 3 + 1 conjuntos (0,3), (1,2), (2,1), (3,1)

La respuesta es ∑34–3z, donde Z es 0 a 11, = 34 + 31 + 28… .4 + 1, número de turnos en este

AP es 12, entonces la respuesta es (34 + 1) * 12/2 = 210.

Adicionalmente

De otra manera -> encuentre el coeficiente de x ^ 33 en (1 − x) ^ – 1. (1 − x) ^ – 1. (1 − x ^ 3) ^ – 1

si quieres excluir el 0 de la solución

necesita encontrar el coeficiente de x ^ 33 en ((1-x) ^ – 1 -1). ((1-x) ^ – 1 -1). (1-x ^ 3) ^ – 1 -1) .

puede expandir (1-x) ^ – n usando el teorema binomial.

Answer 3

Generalización:

Se nos da una lista de constantes [math] L = [\ alpha_1, \ alpha_2,…, \ alpha_ {| L |}] [/ math] (donde cada [math] \ alpha_i \ in \ mathbb {N} [/ math]), así como una constante [math] n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ math]. Deseamos encontrar el número de soluciones para [matemáticas] x_i \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \} [/ matemáticas] que satisfacen [matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 1} ^ {| L | } {\ alpha_ix_i} = n [/ math].

Para nuestra pregunta específica, [matemáticas] L = [1,1,3] [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 33 [/ matemáticas].

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Responder:

La respuesta es el coeficiente de [matemática] y ^ n [/ matemática] en [matemática] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {| L |} {(1-y ^ {\ alpha_i}) ​​^ {- 1 }}[/matemáticas].

Alternativamente, esto también se puede formular como una recurrencia. Entonces la respuesta también es [matemáticas] f_L (n, 1) [/ matemáticas], donde [matemáticas] f_L (n, i) = \ begin {cases} 0 & \ text {,} i> | L |, n \ neq 0 \\ 1 & \ text {,} i> | L | \\ \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n} {\ alpha_i} \ rfloor} {f_L (nj \ alpha_i, i + 1)} & \ text {, de lo contrario} \ end {casos }[/matemáticas].

Para nuestra pregunta específica, la respuesta es el coeficiente de [matemáticas] y ^ {33} [/ matemáticas] en [matemáticas] (1-y) ^ {- 2} (1-y ^ 3) ^ {- 1} = 1 + 2 y + 3 y ^ 2 + 5 y ^ 3 + 7 y ^ 4 + 9 y ^ 5 + 12 y ^ 6 + 15 y ^ 7 + 18 y ^ 8 + 22 y ^ 9 + 26 y ^ {10 } +30 y ^ {11} +35 y ^ {12} +40 y ^ {13} +45 y ^ {14} +51 y ^ {15} +57 y ^ {16} +63 y ^ {17} +70 y ^ {18} +77 y ^ {19} +84 y ^ {20} +92 y ^ {21} +100 y ^ {22} +108 y ^ {23} +117 y ^ {24} + 126 y ^ {25} +135 y ^ {26} +145 y ^ {27} +155 y ^ {28} +165 y ^ {29} +176 y ^ {30} +187 y ^ {31} +198 y ^ {32} +210 y ^ {33} + O (y ^ {34}) [/ matemáticas]. Esto es [matemáticas] \ boxed {210} [/ matemáticas].

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Razonamiento:

Defina [math] g_L (n) [/ math] como número de soluciones para todas las [math] x_i [/ ​​math]. La función de generación ordinaria para [math] g_L (n) [/ math] es [math] A (y) = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ infty} {g_L (j) y ^ j} [/ matemáticas]. Defina [math] h_i (n) [/ math] como el número de soluciones cuando solo hay una variable [math] x_i [/ ​​math]. Luego tenga en cuenta que [math] h_i (n) = \ begin {cases} 1 & \ text {,} n \ equiv 0 \ mod {\ alpha_i} \\ 0 & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ matemática], ya que solo habría una solución (y exactamente [matemática] 1 [/ matemática] solución) para la variable [matemática] x_i [/ ​​matemática] si [matemática] \ alpha_i [/ ​​matemática] divide [matemática] n [ /matemáticas]. Por lo tanto, la función generadora para [matemáticas] h_i (n) [/ matemáticas] es [matemáticas] A_i (y) = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ infty} {h_i (j) y ^ j} = \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ infty} {y ^ {\ alpha_ij}} = (1-y ^ {\ alpha_i}) ​​^ {- 1} [/ math] (aplicando la fórmula de la serie geométrica) . Debido a la increíble forma en que funcionan las funciones generadoras, [matemática] A (y) = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {| L |} {A_i (y)} = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {| L |} {(1-y ^ {\ alpha_i}) ​​^ {- 1}} [/ math]. Finalmente, obtenemos [math] g_L (n) [/ math] como simplemente el coeficiente de [math] y ^ n [/ math] en [math] A (y) [/ math].

Answer 4

La ecuación se puede reescribir como x + y = 33–3z

z puede tener un valor de 0 a 11 .

Podemos imaginar 33–3z elementos seguidos y un elemento adicional para representar el divisor de x e y. El número de elementos a la izquierda del divisor representa xy el de la derecha es y. Por lo tanto, obtenemos 34-3z ítems. Fuera de esto, tenemos que seleccionar un divisor. (Cualquier ítem se puede tomar como divisor). Esto se puede hacer de 34-3z formas. Entonces, el número total de formas es [matemática] \ sum_ {z = 0} ^ {11} (34-z) = 34 * 12–3 * \ frac {11 * 12} {2} = 210 [/ matemática] formas

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Sin embargo, otra versión del problema cuando x, y, z son enteros positivos > 0

Hay que tener cuidado. Los valores mínimos para x, y, z son 1,1,1 y tomando x = a + 1, y = b + 1 y z = c + 1 podemos escribir a + b + 3c = 28.

a + b = 28–3c

c puede tomar un valor de 0 a 9, es decir, 10 valores.

tomar 28-3c elementos y usar un número total de divisor es 29.c. El divisor se puede seleccionar de [math] ^ {29–3c} C_1 = 29–3c [/ math] formas.

Entonces, el número total de formas es [matemáticas] \ sum_ {c = 0} ^ 9 (29–3c) = 29 * 10–3 * 9 * 10/2 [/ matemáticas] = 155 formas.

Answer 5

Podrías escribir un algoritmo recursivo simple para encontrar esto.