¿Por qué la secuencia [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac {1} {6n}) ^ {n} [/ matemáticas] es igual a 1?

Answer 1

Aquí hay algo que es verdad.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac 1 {6n} \ right) ^ 3 = \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac 1 {6n} \ right) \ right) ^ 3 [/ math]

¿Sabes por qué eso es cierto? Elevar una cantidad el poder de 3 es una función continua para todos los argumentos reales. Hay un teorema que nos dice que el límite de una función continua de una cantidad es igual a la función del límite de esa cantidad. Es un teorema MUY importante. Lo usa varias veces en casi todos los problemas límite que resuelve, y lo usa tan naturalmente que ni siquiera se da cuenta de que lo está usando. Por ejemplo, el mismo teorema es también la justificación para el siguiente paso (porque agregar uno es una función continua):

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac 1 {6n} \ right) \ right) ^ 3 = \ left (1+ \ lim_ {n \ to \ infty } \ frac 1 {6n} \ right) ^ 3 [/ math]

Y el siguiente paso (porque multiplicar por un sexto es una función continua):

[matemáticas] \ displaystyle \ left (1+ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac 1 {6n} \ right) ^ 3 = \ left (1+ \ frac 16 \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac 1 {n} \ right) ^ 3 [/ math]

Ahora hemos reducido el problema a un límite que (con suerte) discutió en gran detalle cuando comenzó a aprender sobre este tipo de límite. Quizás incluso sepa cómo mostrar que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac 1 {n} = 0 [/ matemáticas] directamente de las definiciones apropiadas.

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Entonces, ¿qué tiene que ver todo eso con su pregunta? Bueno, parece que ESTÁS INTENTANDO hacer algo similar a lo que justifica el teorema. Estás intentando reclamar algo como:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac 1 {6n} \ right) ^ n = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac 16 \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac 1 {n} \ right) ^ n [/ math]

Pero, por supuesto, aunque parezca natural “poner el límite dentro de los paréntesis”, el teorema sobre las funciones continuas no puede usarse para justificar tal paso. No se puede usar porque elevar una cantidad a una potencia positiva fija es una función continua. Elevar algo al poder de [matemáticas] n [/ matemáticas] cuando [matemáticas] n [/ matemáticas] es el índice del límite ni siquiera es una función, mucho menos una función continua.

Entonces, la razón por la que el límite no es uno es que no hay justificación matemática para este tipo de paso, que es un paso esencial (e incorrecto) en su análisis.

Answer 2

Si coloca directamente obtendrá [matemática] 1 ^ {\ infty} [/ matemática] y es una forma indeterminada.
[matemáticas]
f (n) = (1+ \ frac {1} {6n}) ^ n [/ math]

[matemáticas] f (n) = e ^ {n ln (1+ \ frac {1} {6n})} [/ matemáticas]

[matemáticas] lim_ {n \ to \ infty} {n ln (1+ \ frac {1} {6n})} [/ matemáticas]

Toma este límite

[matemáticas] lim_ {n \ to \ infty} \ frac {ln (1+ \ frac {1} {6n})} {\ frac {1} {6n}} \ frac {1} {6} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {6} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {6n}) ^ n = e ^ {\ frac {1} {6}} [/ matemáticas]

Answer 3

La forma [math] 1 ^ {\ infty} [/ math] es indeterminada, al igual que [math] \ frac {0} {0} [/ math] o [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [ /matemáticas]. Entonces, simplemente enchufar los números no funciona. Recuerde: [math] \ infty [/ math] no es un número. Debe convertir esta expresión en una forma que permita evaluarla, por ejemplo, evaluar su logaritmo mediante la regla de l’Hospital.

La solución a su límite es [math] \ sqrt [6] {e} [/ math].

Es una forma especial de

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {n} \ right) ^ n = e ^ x [/ math]

con [matemáticas] x = \ frac {1} {6} [/ matemáticas].

Answer 4

Tenga en cuenta que es un problema de tiempo . No puede hacer [math] \ dfrac {1} {6n} [/ math] cero primero y tomar el límite de [math] 1 ^ n [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math] después. No es que [matemáticas] 1 ^ {\ infty} = 1 [/ matemáticas]. De hecho, [math] 1 ^ {\ infty} [/ math] no está definido en absoluto. La expansión a través del teorema binomial nos permite expresarlo en una forma en la que todas las n en la expresión se vuelven muy grandes al mismo tiempo. Que es lo que hacemos en la definición de límite de la función exponencial.

Answer 5

Primero notamos la definición del número [math] e [/ math], es decir:

[matemáticas] e = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} {\ left (1 + \ frac {1} {n} \ right)} ^ n [/ math]

Tenga en cuenta que según su argumento, [matemáticas] e = 1 [/ matemáticas]. Sin embargo, a medida que tomamos [math] \ displaystyle {\ left (1 + {\ text {something small}} \ right)} ^ {\ text {something big}} [/ math], nos acercamos a un valor que parece [math ] 2.718 … [/ matemáticas]. Este límite es lo que definimos como el número [math] e [/ math].

Ahora trabajemos con esta definición de [matemáticas] e [/ matemáticas]. Esto significa que podemos reemplazar los [math] n [/ math] ‘s con cualquier cosa y la identidad se mantiene. Para extraer [math] 6n [/ math] en el denominador, reemplazaré todos [math] n [/ math] ‘s con [math] 6n [/ math]. ”:

[matemáticas] e = \ displaystyle \ lim_ {6n \ to \ infty} {\ left (1 + \ frac {1} {6n} \ right)} ^ {6n} [/ math]

Tenga en cuenta que como [math] 6n \ to \ infty [/ math], se deduce que [math] n \ to \ infty [/ math]. Así podemos reescribirlo de esta manera:

[matemáticas] e = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} {\ left (1 + \ frac {1} {6n} \ right)} ^ {6n} [/ math]

… y casi hemos terminado … excepto ese molesto [matemático] 6n [/ matemático] en el poder. Usando leyes de índices, vemos que:

[matemáticas] e = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} {\ left ({\ left (1 + \ frac {1} {6n} \ right)} ^ n \ right)} ^ 6 = \ displaystyle { \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} {\ left (1 + \ frac {1} {6n} \ right)} ^ n \ right)} ^ 6 [/ math]

Observe que [math] e = A ^ 6 [/ math], donde [math] A [/ math] es la expresión en cuestión. Tomando la sexta raíz en ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} {\ left (1 + \ frac {1} {6n} \ right)} ^ n = e ^ {1/6} [/ math]

Esta respuesta es válida si el contexto de esta pregunta es en números reales.

Answer 6

Deje [math] y = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {6n} \ right) ^ n [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln y = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} n \ ln \ left (1+ \ dfrac {1} {6n} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ ln y = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ ln \ left (1+ \ dfrac {1} {6n} \ right)} {\ dfrac {1} {n }}[/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln y = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {- \ dfrac {1} {6n ^ 2}} {1+ \ dfrac {1} {6n}} } {- \ dfrac {1} {n ^ 2}} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {6 \ left (1+ \ dfrac {1} {6n} \ right)} = \ dfrac {1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = e ^ {\ frac {1} {6}} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {6n} \ right) ^ n = e ^ {\ frac {1} {6}} = \ sqrt [6 ] {e} \ tag {*} [/ math]

Answer 7

Sugerencia: Limite la definición del número e.