¿Cuáles son las partes reales e imaginarias de [matemáticas] ln (cos (x + i * y)) [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ ln \ cos (x + iy) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ cos x \ cos iy- \ sin x \ sin iy) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ cos x \ cosh y- \ sin xi \ sinh y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y) [/ matemáticas]

Dejar,
[matemáticas] \ cos x \ cos hy-i \ sin x \ sin hy = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (\ cos x \ cos hy-i \ sin x \ sin hy) = \ ln re ^ {i \ theta} = \ ln r + i \ theta [/ math]

[matemáticas] r = \ sqrt {\ cos ^ 2 x \ cosh ^ 2 y + \ sin ^ 2 x \ sinh ^ 2 y} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ frac {- \ sin x \ sinh y} {\ cos x \ cosh y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ tan ^ {- 1} (- \ tan x \ tanh y) [/ matemáticas]

Entonces,

Parte real = [matemáticas] \ ln \ sqrt {\ cos ^ 2 x \ cosh ^ 2 y + \ sin ^ 2 x \ sinh ^ 2 y} [/ matemáticas]

Parte imaginaria = [matemáticas] \ tan ^ {- 1} (- \ tan x \ tanh y) [/ matemáticas]