Álgebra lineal: ¿Cómo escribo un vector en el lapso de otros vectores como una combinación lineal?

Answer 1

Deje [math] w = av_ {1} + bv_ {2} + cv_ {3} [/ math], donde [math] a [/ math], [math] b [/ math] y [math] c [ / matemáticas] se determinarán a partir de las condiciones dadas. Vemos que [matemáticas] w.v_ {1} = av_ {1} .v_ {1} + bv_ {2} .v_ {1} + cv_ {3} .v_ {1}, \ implica 63 = a (21 ) + 0 + 0 [/ math], los dos últimos términos son cero porque [math] v_ {1} [/ math], [math] v_ {2} [/ math] y [math] v_ {3} [/ math] siendo ortogonales, sus productos punto son cero. Entonces, [matemáticas] a = \ frac {63} {21} = 3 [/ matemáticas]. Nuevamente, [matemáticas] w.v_ {2} = 0 + bv_ {2} .v_ {2} +0 \ implica 1463 = b (209), [/ matemáticas] dando [matemáticas] b = \ frac {1463} { 209} = 7 [/ matemáticas]. Una vez más, [math] w.v_ {3} = 0 + 0 + cv_ {3} .v_ {3} \ implica 48 = c (16) [/ math], dando [math] c = \ frac {48} {16} = 3 [/ matemáticas]. Así [matemáticas] w = 3v_ {1} + 7v_ {2} + 3v_ {3} [/ matemáticas].

Answer 2

Ok, entonces tenemos w = c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 (w es una combinación lineal de v1–3)

w dot v1 = c1 * v1 dot v1 + 0 + 0 (puntee ambos lados por v1, los otros productos dot son 0 porque la base es ortogonal).

w punto v1 = c1 * v1 punto v1 -> 63 = c1 * 21 -> c1 = 3

Puede repetir esto para c2 y c3.