¿Es [matemática] x ^ 2 + 2 [/ matemática] divisible por [matemática] 5 [/ matemática]?

Answer 1

No.

Un número es divisible por cinco si su último dígito es 0 o 5.

Podemos determinar el último dígito del cuadrado de cualquier número entero al cuadrar el último dígito del número entero.

Último dígito de 0 ^ 2 = 0. 0 + 2 = 2. No es divisible por 5.

Último dígito de 1 ^ 2 = 1. 1 + 2 = 3. No es divisible por 5.

Último dígito de 2 ^ 2 = 4. 4 + 2 = 6. No es divisible por 5.

Último dígito de 3 ^ 2 = 9. 9 + 2 = 11. No es divisible por 5.

Último dígito de 4 ^ 2 = 6. 6 + 2 = 8. No es divisible por 5.

Último dígito de 5 ^ 2 = 5. 5 + 2 = 7. No es divisible por 5.

Último dígito de 6 ^ 2 = 6. 6 + 2 = 8. No es divisible por 5.

Último dígito de 7 ^ 2 = 9. 9 + 2 = 11. No es divisible por 5.

Último dígito de 8 ^ 2 = 4. 4 + 2 = 6. No es divisible por 5.

Último dígito de 9 ^ 2 = 1. 1 + 2 = 3. No es divisible por 5.

Después de esto, los últimos dígitos comienzan de nuevo en 0. Por lo tanto, no hay un número x tal que x ^ 2 + 2 sea divisible por 5.

Answer 2

Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es cinco o cero. Como estamos sumando 2 al número al cuadrado, queremos que nuestro número cuadrado termine en 3 u 8. De esa manera, cuando sumamos 2, el número terminará en 5 o 0.

Entonces, hagamos sonar algunos números cuadrados y veamos si encontramos un patrón en el último dígito.

Números cuadrados: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400.

Último dígito: 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0.

No veo ningún 3 u 8 en la última fila de dígitos. Veamos si podemos descubrir por qué.

Cuando cuadre un número que termina en 1, el nuevo número terminará en 1. (10a +1) ^ 2 = 100a ^ 2 + 20a + 1 ^ 2. Los primeros dos términos terminan en 0, por lo que el único término que afecta el lugar de las unidades es 1 ^ 2, que es 1, por lo que un número que termina en 1, cuando se eleva al cuadrado, terminará en 1. Podemos hacer un argumento similar para los números terminando con cualquier otro dígito.

Si un número termina en 2, (10a + 2) ^ 2 = 100a ^ 2 + 40a + 2 ^ 2 => termina en 4

Si un número termina en 3, (10a + 3) ^ 2 = 100a ^ 2 + 60a + 3 ^ 2 => termina en 9

Si un número termina en 4, (10a + 4) ^ 2 = 100a ^ 2 + 80a + 4 ^ 2 => termina en 6

Si un número termina en 5, (10a + 5) ^ 2 = 100a ^ 2 + 100a + 5 ^ 2 => termina en 5

Si un número termina en 6, (10a + 6) ^ 2 = 100a ^ 2 + 120a + 6 ^ 2 => termina en 6

Si un número termina en 7, (10a + 7) ^ 2 = 100a ^ 2 + 140a + 7 ^ 2 => termina en 9

Si un número termina en 8, (10a + 8) ^ 2 = 100a ^ 2 + 160a + 8 ^ 2 => termina en 4

Si un número termina en 9, (10a + 9) ^ 2 = 100a ^ 2 + 180a + 9 ^ 2 => termina en 1

Si un número termina en 0, (10a + 0) ^ 2 = 100a ^ 2 + 0a + 0 ^ 2 => termina en 0.

Para resumir, tenemos las siguientes transformaciones.

1 => 1

2 => 4

3 => 9

4 => 6

5 => 5

6 => 6

7 => 9

8 => 4

9 => 1

0 => 0.

Esta es la lista completa de transformaciones para el último dígito de un número cuadrado. No aparecen 3 u 8 después de la transformación. ¿Qué pasa si llevamos a cabo la transformación completa de cuadrar un número y luego sumar 2?

1 => 3

2 => 6

3 => 1

4 => 8

5 => 7

6 => 8

7 => 1

8 => 6

9 => 3

0 => 2.

Ahora vemos 3s y 8s en esta lista. Pero tenga cuidado, porque en esta lista queremos que los números se transformen en 5s y 0s. No vemos ninguno de esos aquí, entonces x ^ 2 + 2 para el entero x NUNCA será un múltiplo entero de 5.

Answer 3

[matemática] x ^ 2 + 2 mod y = 0 [/ matemática] satisfecha solo para [matemática] y = n ^ 2 + 2 [/ matemática]

5 no puede expresarse como [matemáticas] n ^ 2 + 2 [/ matemáticas], por lo que no es posible.

---

[matemática] (x ^ m + p) mod q = 0 [/ matemática] iff [matemática] q = n ^ m + p [/ matemática]

¿es suficiente?

[matemática] (x ^ m + p) mod (n ^ m + p) = 0 [/ matemática]

[math] x ^ m mod (n ^ m + p) = -p = (n ^ m) mod (n ^ m + p) [/ math] verdadero para cualquier número entero x.

es necesario ?

[matemática] x ^ m mod (n ^ m + p + k) = (n ^ m + k) mod (n ^ m + p + k) [/ matemática]

(aún por probar)

Me estoy atorando aquí …

Answer 4

Los números cuadrados [matemática] 1, 4, 9, 16, 25 [/ matemática] dejan restos de [matemática] 1, 4, 4, 1, 0 [/ matemática] cuando se dividen entre [matemática] 5 [/ matemática] respectivamente . Dado que ninguno de estos restos es igual a [matemática] 3 [/ matemática] y cualquier número mayor que [matemática] 5 [/ matemática] puede escribirse como un múltiplo de [matemática] 5 [/ matemática] más algún número entero entre [matemática] ] 0 [/ matemática] y [matemática] 4 [/ matemática] inclusive, [matemática] x ^ 2 + 2 [/ matemática] nunca es divisible por [matemática] 5 [/ matemática].

Answer 5

Supongamos que es divisible.

Entonces podemos escribir,

x ^ 2-5k + 2 = 0, k = int.

x = {- (0) + – (√4 (5k-2))} / 2

x = + – √ (5k-2)

x = + – √n ,, donde n = 5k-2

Ahora, n = -2,3,8,13,18,23,28,33,38… ..para k = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 …… De lo cual ¡Es obvio que n nunca puede ser un cuadrado perfecto

=> x nunca puede ser un número racional!

=> el supuesto asumido no es cierto para int x!

=> Por lo tanto, demostró que x ^ 2 + 2 nunca es divisible por 5 … donde x es un número entero (o cualquier número racional para el caso).

Answer 6

Veamos el análisis del lugar de la unidad en cuadrados perfectos.

1 * 1 = 1 (lugar de la unidad 1)

2 * 2 = 4 (lugar de la unidad 4)

3 * 3 = 9 (lugar de la unidad 9)

4 * 4 = 16 (lugar de la unidad 6)

5 * 5 = 25 (lugar de la unidad 5)

6 * 6 = 36 (lugar de la unidad 6)

7 * 7 = 49 (lugar de la unidad 9)

8 * 8 = 64 (lugar de la unidad 4)

9 * 9 = 81 (lugar de la unidad 1)

Por lo tanto, x ^ 2 para cualquier número entero x debe tener el lugar de la unidad como 1, 4, 5, 6, 9.

Ahora, para una divisibilidad de 5, el último dígito debe ser 0 o 5, lo que implica que si x ^ 2 + 2 debe ser divisible por 5, entonces el último dígito de x ^ 2 debe ser 3 u 8, pero como hemos observado, ninguno de los los cuadrados perfectos pueden tener 3 u 8 en lugar de la unidad, por lo tanto, x ^ 2 + 2 nunca es divisible por 5 para cualquier número entero x.

Espero que haya ayudado.

Answer 7

Para que x² + 2 sea divisible por 5, el término x² + 2 debe tener 0 o 5 en el lugar de las unidades. Y para que x² + 2 termine con 0 o 5, el término x² debe tener 8 o 3 en su lugar. Como ningún cuadrado termina con 8 o 3, x² + 2 no es divisible por 5. Para x pertenece a R.

Answer 8

Las pruebas aquí son demasiado largas e implican demasiado trabajo de casos. Aquí hay una prueba corta y simple:

Suponga que [matemáticas] x ^ 2 + 2 \ equiv 0 \ mod 5 \ implica x ^ 2 \ equiv 3 \ mod 5. [/ matemáticas] Entonces [matemáticas] x ^ 4 = (x ^ 2) ^ 2 \ equiv 9 \ equiv 4 \ not \ equiv 1 \ mod 5 [/ math], en contradicción con el pequeño teorema de Fermat. Entonces tal [matemática] x [/ matemática] no puede existir.

Answer 9

Para un cuadrado, si x es un número entero, x² debe terminar con el dígito 0, 1,4,5,6,9, sumando 2 a estos wii nos dará el último dígito de (x² + 2), es decir

1, 3,6,7,8,11.

Como para que un número sea divisible por 5, su último dígito debe ser 0 o 5,

x² + 2 NO es divisible por 5.

Answer 10

1 ^ 1 = 1

2 ^ 2 = 4

3 ^ 2 = 9

4 ^ 2 = 16

5 ^ 2 = 25

6 ^ 2 = 36

7 ^ 2 = 49

8 ^ 2 = 64

9 ^ 2 = 81

10 ^ 2 = 100.

Para que un número sea divisible por 5, los lugares de las unidades deben ser 0 o 5.

Aquí vemos que no hay x, cuyo lugar de la unidad del cuadrado es 3 u 8. Por lo tanto, NO.

Answer 11

Simplifica la ecuación.

[matemáticas] x ^ 2 + 2 [/ matemáticas] termina en [matemáticas] 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 5 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] termina en [matemáticas] 8 [ / math] o [math] 3 [/ math]. Como todos los números cuadrados terminan en [matemática] 1, 4, 5, 6, [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática], [matemática] x [/ matemática] no es un número entero.

Answer 12

Comenzaría mirando los restos de [matemática] n ^ 2 + 2 [/ matemática] cuando se divide por 5 para unos pocos, matemática de bajo valor [matemática] n [/ matemática].

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 = 3 \ equiv 3 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 + 2 = 6 \ equiv 1 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 + 2 = 11 \ equiv 1 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 2 + 2 = 18 \ equiv 3 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ 2 + 2 = 27 \ equiv 2 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 ^ 2 + 2 = 38 \ equiv 3 \ mod 5 [/ matemáticas]

En términos generales, parece que el resto es 1 o 3, excepto (tal vez) cuando [math] n [/ math] es divisible por 5. Eso implicaría que [math] n ^ 2 \ equiv \ pm 1 \ mod 5 [/ math] a menos que [math] n [/ math] sea divisible por 5.

Pero eso no es una prueba. ¿Cómo podemos probarlo?

Veamos [matemáticas] n = 5k + l, 0 \ leq l \ le 5 [/ matemáticas] y veamos qué obtenemos:

[matemática] n ^ 2 + 2 = (5k + l) ^ 2 + 2 = 25k ^ 2 + 10kl + l ^ 2 + 2 = 5 (5k ^ 2 + 2kl) + l ^ 2 + 2 [/ matemática].

Entonces, el resto de [matemáticas] n ^ 2 + 2 [/ matemáticas] cuando se divide por 5 es [matemáticas] l ^ 2 + 2 [/ matemáticas], con [matemáticas] l <5 [/ matemáticas].

Convenientemente, hay un pequeño número para verificar, y de hecho los he hecho arriba.

Como eso agota los casos, eso es todo.

Answer 13

Puede que esta no sea la prueba más rigurosa, pero los números divisibles por 5 siempre terminan en 0 o 5 en la base 10. Entonces, para que x ^ 2 + 2 sea divisible por 5, necesitamos un número cuadrado que termine en 3 o 8. Sin embargo, el dígito final de cualquier número entero cuadrado siempre será 1, 4, 9, 6 o 5. Por lo tanto, ningún número de la forma x ^ 2 +2 será divisible por 5.

Answer 14

La pregunta es básicamente qué valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] x ^ 2 + 2 [/ matemáticas] un múltiplo de [matemáticas] 5. [/ Matemáticas]

Entonces [matemáticas] x ^ 2 = 3,8,13,18… [/ matemáticas]

[matemática] 3 + 5n [/ matemática] proporciona esta secuencia aritmética para todos los valores de [matemática] n [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] un entero no negativo.

Entonces [math] x = \ sqrt {3 + 5n} [/ math] para todos los enteros no negativos [math] n [/ math].

Answer 15

Para que cualquier número sea divisible por 5, el último dígito debe ser 5 o 0.

Por lo tanto, x ^ 2 debería terminar con 3 u 8.

Es fácil verificar que ningún cuadrado perfecto pueda terminar con 3 u 8 simplemente tomando un cuadrado de todos los números del 0 al 9 en donde el número resultante tendrá los siguientes últimos dígitos: 0,1,4,5,6 o 9 .

Entonces, x ^ 2 + 2 nunca es divisible por 5.

Answer 16

No,

se dieron muchas explicaciones y daré otra

Un consejo, un número siempre es divisible por 5 si:

[matemáticas] n ^ 2 + 2 = 5 q [/ matemáticas]

Usando el estándar

mcd (n ^ 2 + 2, 5 q) = ((n ^ 2 + 2) (5 q)) / (mcm (n ^ 2 + 2, 5 q)) para (n ^ 2 elemento Z y 5 elemento q Z y q> 0)

MCD [m, n] == 2 Suma [Piso [(kn) / m], {k, 1, m – 1}] + m + n – mn

mcd (n ^ 2 + 2, 5q) = n ^ 2 + 2 – 5q – 5 qn ^ 2 + 2 sum_ (k = 1) ^ (5q-1) piso (1/5 k (2 + n ^ 2) )

o explicited para q = 1

2 (piso (n ^ 2/5 + 2/5) + piso ((2 n ^ 2) / 5 + 4/5) + piso ((3 n ^ 2) / 5 + 6/5) + piso (( 4 n ^ 2) / 5 + 8/5)) – 4 n ^ 2 – 3

puede ver aquí que es imposible obtener un número entero debido a + i / 5 con i = {1,2,3,4}

Answer 17

Un número es divisible por 5 si y solo si su último dígito es 0 o 5.

Como le agregas 2, significa que necesitamos algo de x ^ 2 que termine con 3 u 8.

Y no hay tal número. Como solo necesitamos tener en cuenta el último dígito, podemos ignorar el resto de x ^ 2. Este último dígito no se ve afectado por otros dígitos al cuadrado [que es trivial de probar], así que por simple fuerza bruta podemos …

0 ^ 2 = 0

1 ^ 2 = 1

2 ^ 2 = 4

3 ^ 2 = 9

4 ^ 2 = 6 (mod 10)

5 ^ 2 = 5

6 ^ 2 = 6

7 ^ 2 = 9

8 ^ 2 = 4

9 ^ 2 = 1

10 ^ 2 = 0 … repetir

No hay 3 u 8 aquí. Por lo tanto, no existe tal x para la cual [x ^ 2 + 2] mod 5 = 0 sea verdadero.

Answer 18

Para un número entero, esto nunca será divisible de manera uniforme por 5. Un múltiplo de 5 siempre termina en 0 o 5. Eso significaría que esto debe terminar en 0 o 5 para ser una respuesta legítima, entonces x ^ 2 + 3 = … ..0 y / o x ^ 2 + 3 = …… 5, lo que significa que x ^ 2 debe terminar en 2 o 7. Desafortunadamente, no hay números que pueda cuadrar que estén entre 0 y 9 para obtener un 2 o 7 como el dígito de la unidad, por lo tanto, no hay solución.

Answer 19

Una manera muy simple de probar esto sería la siguiente:

Cualquier entero aleatorio en el conjunto de todos los enteros se puede expresar como

X = 5n + k donde k pertenece a [0,4]

Por lo tanto, para todos los n que pertenecen al conjunto de enteros, x también representa un número entero.

Para todos los valores de k, es bastante fácil observar que el módulo 🙁 (x) ^ 2 + 2)% 5 no es igual a cero.

Salud.

Answer 20

Creo que el usuario dio la mejor respuesta.

Creo que hay una respuesta muy simple que no implica matemáticas de alto nivel:

¿Es [matemática] x ^ 2 + 2 [/ matemática] divisible por [matemática] 5 [/ matemática] ?

Se puede decir también como:

¿Existe un múltiplo entero de 5 que se puede expresar como [matemáticas] x ^ 2 + 2 [/ matemáticas] ?

Para responder, hagamos un gráfico:

Para encontrar los valores donde estas dos condiciones son verdaderas, tenemos que encontrar la intersección de estas dos curvas.

Los valores de x para las intersecciones son: [matemática] x = \ frac {5 \ pm \ sqrt {17}} {2} [/ matemática].

Buscamos valores enteros y no lo son, por lo que no hay ningún valor de x que satisfaga las condiciones

Espero que esto ayude 🙂