¿Cómo encontrar una base y la dimensión del espacio de solución del sistema de ecuaciones lineales?

Answer 1

Las respuestas proporcionadas por Awnon Bhowmik y Emad Noujeim son excelentes. Sin embargo, solo quería dar mi discurso. Por el método de reducción de filas, la matriz de coeficientes se convierte en [matemática] \ begin {pmatrix} 1 y 2 y -2 y 2 y -1 \\ 0 & 0 y 1 y 1 y -1 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \ end {pmatrix} [/ matemática]. El conjunto de ecuaciones son, [matemáticas] x + 2y-2z + 2s-t = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] z + st = 0 [/ matemáticas]. Entonces, el número de ecuaciones independientes es [matemática] 2 [/ matemática] y el número de incógnitas libres a las que podemos asignar valores arbitrarios es [matemática] 3 [/ matemática]. La dimensión del espacio de solución es, por lo tanto, igual a [math] 3 [/ math]. Se puede elegir un conjunto de bases asignando valores arbitrarios a [math] z [/ math], [math] s [/ math] y [math] y [/ math]. El primer vector base obtenido al poner [matemática] z = 1 [/ matemática], [matemática] s = 0 [/ matemática], [matemática] y = 0 [/ matemática] es [matemática] \ begin {bmatrix} 3 \ \ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math]. El segundo vector base obtenido al poner [matemática] z = 0 [/ matemática], [matemática] s = 1 [/ matemática], [matemática] y = 0 [/ matemática] es [matemática] \ begin {bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math], y el tercer vector base se puede obtener poniendo [math] z = 0 [/ math], [math] s = 0 [ / math], [math] y = 1 [/ math] que luego nos da [math] \ begin {bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math]. Entonces, una solución general se puede expresar como [matemáticas] a \ begin {bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix} + b \ begin {bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix} + c \ begin {bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math], donde a, byc son constantes arbitrarias

Answer 2

La forma escalonada reducida del sistema es

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 2 y 0 y 4 y -3 y 0 \\ 0 y 0 y 1 y 1 y -1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \ end { pmatrix} [/ math]

Volviendo a las ecuaciones, tenemos

[matemática] \ left \ {\ begin {matrix} x + 2y + 4s-3t = 0 \\ z + st = 0 \ end {matrix} \ right. [/ math]

Tenemos ecuaciones [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en las variables [matemáticas] 5 [/ matemáticas], lo que significa que tenemos variables libres [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Sea [matemáticas] y = a, s = b, t = c [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 2a + 4b-3c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = -2a-4b + 3c [/ matemáticas]

[matemáticas] z + bc = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z = cb [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \\ s \\ t \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} -2a-4b + 3c \\ a \\ -b + c \\ b \\ c \ end {pmatrix} = a \ begin {pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} + b \ begin {pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} + c \ begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math]

Los vectores de columna linealmente independientes que puede ver son los vectores base.

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[matemática] n = [/ matemática] número de columnas de [matemática] m \ veces n [/ matemática] matriz [matemática] M [/ matemática] = [matemática] 5 [/ matemática]

[matemáticas] r = [/ matemáticas] rango de [matemáticas] M = 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] dim (S) = nr = 5-2 = 3 [/ matemática] donde [matemática] S [/ matemática] es el espacio de solución.

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Mi respuesta anterior fue incorrecta. Arruiné las columnas con filas.

Answer 3

Consideremos la matriz del sistema de ecuaciones dado

[matemáticas] \ displaystyle M = \ left (\ begin {array} {ccccc} 1 y 2 y -2 y 2 y -1 \\ 1 y 2 y -1 y 3 y -2 \\ 2 y 4 y -7 & 1 & 1 \\\ end {array} \ right) [/ math]

Al resolver este problema con Mathematica, debe tenerse en cuenta que la fila reducida o la forma escalonada de fila de la matriz [matemática] M [/ matemática] se puede encontrar escribiendo:

M = {{1, 2, -2, 2, -1}, {1, 2, -1, 3, -2}, {2, 4, -7, 1, 1}};
RowReduce [M]

El resultado obtenido es:

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {ccccc} 1 y 2 y 0 y 4 y -3 \\ 0 y 0 y 1 y 1 y -1 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \\\ end {array} \ right) [/ math]

Para encontrar una base del espacio nulo directamente, utilizamos la función o símbolo incorporado Mathematica NullSpace []:

Espacio nulo [M]

La respuesta es :

{{3, 0, 1, 0, 1}, {-4, 0, -1, 1, 0}, {-2, 1, 0, 0, 0}}

que representa la base requerida para el espacio nulo de la matriz [math] M [/ math], y podemos verificar que

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {ccccc} 1 y 2 y -2 y 2 y -1 \\ 1 y 2 y -1 y 3 y -2 \\ 2 y 4 y -7 y 1 y 1 \\\ end {array} \ right). \ left (\ begin {array} {ccc} 3 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\\ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ \\ end {array} \ right) [/ math]

El rango [math] r [/ math] de la matriz [math] M [/ math] se puede encontrar usando la función incorporada de Mathematica MatrixRank []:

MatrixRank [M]

El resultado es [matemática] r = 2 [/ matemática]

El rango de la matriz [matemática] M [/ matemática] es igual a la dimensión de la columna de [matemática] M [/ matemática] menos la dimensión del espacio nulo (o nulidad):

[matemáticas] r = 5 – nulidad [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {rojo} {nulidad = 5 – r = 5 – 2 = 3} [/ matemáticas]

La nulidad de la matriz [matemática] M [/ matemática] también representa el número de variables libres en la solución de [matemática] MX = 0 [/ matemática]. De hecho, de acuerdo con la forma escalonada de la fila de la matriz [matemática] M [/ matemática] calculada anteriormente, el número de variables libres (y el número de columnas sin pivote en la forma escalonada de la fila de [matemática] M [/ matemática] ]) es [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

El siguiente enlace en línea se puede utilizar para encontrar una base del espacio nulo de una matriz:

Kit de herramientas de álgebra lineal

Espero que haya sido útil.