Permítanos generalizar el problema y calcular el centroide de la región de la elipse [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas] arriba el eje [matemático] X [/ matemático] con [matemático] b> a [/ matemático], de acuerdo con el problema. Para simplificar los cálculos, primero obtendremos la expresión para el centroide de la región del círculo [matemática] x ^ 2 + a ^ 2 = a ^ 2 [/ matemática] sobre el eje [matemática] X [/ matemática]. Debido a la simetría de la región, sabemos de antemano que el centroide se ubicará en algún lugar del eje [matemático] Y [/ matemático].
En el diagrama anterior, [matemática] P [/ matemática] es el centroide del triángulo azul que subtiende un ángulo elemental [matemático] \ matemático {d} \ theta [/ matemático] en el centro. Sus coordenadas son [matemáticas] \ left (a \ dfrac {2} {3} \ cos \ theta, a \ dfrac {2} {3} \ sin \ theta \ right) [/ math]. El área del triángulo azul viene dada por [math] \ dfrac {1} {2} a ^ 2 \ mathrm {d} \ theta [/ math]. La coordenada y de es centroide será dada por,
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {2} {\ pi a ^ 2} \ int_0 ^ {\ pi} \ dfrac {1} {3} a ^ 3 \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta = \ boxed { \ dfrac {4a} {3 \ pi}} [/ math]
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Ahora, observe que la elipse [matemática] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemática] es el círculo [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 [/ math] ampliado por un factor de [math] \ dfrac {b} {a} [/ math] en la dirección [math] y [/ math]. Esto hará que la coordenada [matemática] y [/ matemática] del centroide se amplíe por un factor de [matemática] \ dfrac {b} {a} [/ matemática] también. Las coordenadas del centroide de la elipse [matemática] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemática] está así dada por,
[matemáticas] \ boxed {\ left (0, \ dfrac {4b} {3 \ pi} \ right)} [/ math]