Puede ayudar descomponer el problema en una forma más simple escribiendo 1 / sen x como 1 / y, con y = sin x
Sea f una función tal que f (y) = 1 / y
Un dominio de una función, f (x) es todos los valores de xf que se permite tomar, para que f exista y esté bien definido.
Usando el hecho de que una función recíproca no está definida cuando su denominador es 0, sabemos que para que exista f (y), y puede tomar cualquier número además de 0.
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En otras palabras, la función f (y) no existe cuando y = 0.
Poniendo esto en lenguaje matemático, el dominio de f (y) es cualquier número real, excluyendo 0
Dado que nuestro objetivo principal es encontrar el dominio de 1 / sin x, ahora podemos concluir que el dominio de 1 / sin x es cualquier valor de x que no resulta en sen x = 0
Sabemos que sen x = 0 si x = kπ, donde k puede ser cualquier número entero. Por lo tanto, hemos establecido el dominio de 1 / sen x, es decir, x puede tomar cualquier número real, excepto 0 o los múltiplos positivo / negativo de π.
Ahora para el rango.
Sabemos que para definir 1 / sen x, sen x puede tomar cualquier valor entre 1 y -1, excluyendo 0. (o en notación matemática, —1 <= x <0 v 0 <x <= 1)
Consideremos el cuando sen x 0 por separado
Para sen x> 0:
Una función recíproca disminuye a medida que su denominador se hace más grande. Por lo tanto, dado que sen x tiene un valor máximo de 1, sabemos que su valor mínimo es 1, para x> 0.
A medida que el valor de x se hace más pequeño, el valor de 1 / x se hace más grande. Como la función no está bien definida en sen x = 0, podemos usar límites para tratar de encontrar su valor máximo.
Tomando el límite de 1 / y, como y tiende a 0, el límite tiende al infinito.
Por lo tanto, podemos concluir que para x> 0, dejando que g (x) = 1 / sen x, el rango de g (x) es g (x)> = 1
Usando una lógica similar para sin x <0, podemos deducir que el rango de g (x) = 1 / sin x es g (x) <= 1
La intersección de estos dos rangos nos da el rango general de g (x) 1
Puede consultar el gráfico de 1 / sen x para tener una idea más clara del dominio y el rango, así como otras propiedades de esta función