Cómo encontrar el dominio y el rango de [matemáticas] \ frac {1} {\ sin x} [/ matemáticas]

Puede ayudar descomponer el problema en una forma más simple escribiendo 1 / sen x como 1 / y, con y = sin x

Sea f una función tal que f (y) = 1 / y

Un dominio de una función, f (x) es todos los valores de xf que se permite tomar, para que f exista y esté bien definido.

Usando el hecho de que una función recíproca no está definida cuando su denominador es 0, sabemos que para que exista f (y), y puede tomar cualquier número además de 0.

En otras palabras, la función f (y) no existe cuando y = 0.

Poniendo esto en lenguaje matemático, el dominio de f (y) es cualquier número real, excluyendo 0

Dado que nuestro objetivo principal es encontrar el dominio de 1 / sin x, ahora podemos concluir que el dominio de 1 / sin x es cualquier valor de x que no resulta en sen x = 0

Sabemos que sen x = 0 si x = kπ, donde k puede ser cualquier número entero. Por lo tanto, hemos establecido el dominio de 1 / sen x, es decir, x puede tomar cualquier número real, excepto 0 o los múltiplos positivo / negativo de π.

Ahora para el rango.

Sabemos que para definir 1 / sen x, sen x puede tomar cualquier valor entre 1 y -1, excluyendo 0. (o en notación matemática, —1 <= x <0 v 0 <x <= 1)

Consideremos el cuando sen x 0 por separado

Para sen x> 0:

Una función recíproca disminuye a medida que su denominador se hace más grande. Por lo tanto, dado que sen x tiene un valor máximo de 1, sabemos que su valor mínimo es 1, para x> 0.

A medida que el valor de x se hace más pequeño, el valor de 1 / x se hace más grande. Como la función no está bien definida en sen x = 0, podemos usar límites para tratar de encontrar su valor máximo.

Tomando el límite de 1 / y, como y tiende a 0, el límite tiende al infinito.

Por lo tanto, podemos concluir que para x> 0, dejando que g (x) = 1 / sen x, el rango de g (x) es g (x)> = 1

Usando una lógica similar para sin x <0, podemos deducir que el rango de g (x) = 1 / sin x es g (x) <= 1

La intersección de estos dos rangos nos da el rango general de g (x) 1

Puede consultar el gráfico de 1 / sen x para tener una idea más clara del dominio y el rango, así como otras propiedades de esta función

El problema con su función es que cuando tiene [math] \ sin x = 0 [/ math], no tiene absolutamente ningún sentido ; por lo tanto, puede estar bastante seguro de que dichos valores de [math] x [/ math] no pueden tener sentido y como resultado no están en el dominio.

Ahora para el rango, calculemos el rango de [math] \ sin x [/ math] para cualquier valor de x que lo encuentre, nunca es menor que -1 ni es mayor que 1 si marca. Encuentra el recíproco de los tres da tu respuesta.