¿Cuáles son las posibles permutaciones de cuatro interruptores que pueden estar apagados o encendidos? (es decir, ‘0’ o ‘1’)

Answer 1

Este caso es binario. Para un caso binario, todas las permutaciones posibles se pueden calcular mediante la siguiente fórmula

[matemáticas] p = 2 ^ n [/ matemáticas]

donde [math] p [/ math] es el número de permutaciones y [math] n [/ math] el número de interruptores. La fórmula proviene del siguiente argumento.

Considere un interruptor, las posibles permutaciones son 1 o 0. Para dos interruptores, primero fije un valor para el primer interruptor (fijémoslo en 0), por lo que las posibles permutaciones son (0,0) y (1,0). Ahora, arregle el primer interruptor con el valor 1, luego las posibles permutaciones son (0,1) y (1,1), el número de permutaciones es el doble. Cada vez que agrega un interruptor, las permutaciones anteriores se duplican. Entonces, si tiene dos interruptores, las permutaciones son [matemáticas] 2 × 2, [/ matemáticas] para tres interruptores, el número anterior de permutaciones se duplica, luego, para tres interruptores, las permutaciones son [matemáticas] (2 × 2) x2 [/ matemáticas], y así sucesivamente. La siguiente tabla podría ser útil para mejorar la comprensión.

Un interruptor

[matemáticas] 2 = 2 ^ 1 [/ matemáticas]

dos interruptores

[matemáticas] 2 × 2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas]

tres interruptores

[matemáticas] 2x2x2 = 2 ^ 3 [/ matemáticas]

cuatro interruptores

[matemáticas] 2x2x2x2 = 2 ^ 4 [/ matemáticas]

n interruptores

[matemáticas] 2x2x2… x2 = 2 ^ n [/ matemáticas]

Para este caso, si desea escribir todas las permutaciones posibles, puede hacerlo de la siguiente manera

[matemáticas] 0000 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0001 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0010 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0011 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0100 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0101 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0110 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0111 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1000 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1001 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1010 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1011 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1100 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1101 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1110 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1111 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que los dígitos que están a la derecha, cambian de 0 a 1 cada fila, el segundo dígito de derecha a izquierda cambia de 0 a 1 cada dos filas, los terceros dígitos de derecha a izquierda cambian de 0 a 1 cada cuatro filas y el el dígito a la izquierda cambia de 0 a 1 cada ocho filas.

Finalmente, la respuesta a su pregunta es [matemáticas] 2 ^ 4 = 16 [/ matemáticas]

Answer 2

Hay algunas formas de enumerarlas metódicamente (hay 16 permutaciones).

El primero es observar un problema más simple: el de escribir las permutaciones de 1 interruptor: 0, 1. Luego, tenga en cuenta que para el segundo interruptor, puede estar en dos posiciones diferentes, independientemente de cómo se cambie el primer interruptor, de modo que puede enumerar dos copias del primer interruptor, cada una precedida por una de las formas en que podría ser el segundo interruptor, produciendo 00,01,10,11. Luego puede ir a un tercer interruptor de la misma manera: enumerando las formas de los dos primeros interruptores dos veces, precedido por la configuración del tercer interruptor: 000,001,010,011,100,101,110,111. Vaya al cuarto interruptor de la misma manera.

Esto, desafortunadamente, no parece una forma muy “cambiante” de hacerlo. Después de todo, solo está enumerando posiciones, no activando interruptores de manera sistemática.

Así que opta por esta forma alternativa de hacerlo:

Comience con todos los interruptores apagados: 0000

Cambie un interruptor a la vez, pero en un orden particular.

• Cualquier otro interruptor que mueva es el interruptor más a la derecha.
• Cambie el interruptor de la derecha que tiene exactamente un interruptor de “encendido” a su derecha.

Esto le da el orden:

0000

0001 – cambiar el interruptor de la derecha

0011 – El segundo más a la derecha tiene exactamente 1 1 a su derecha.

0010 – cambiar el interruptor de la derecha

0110 – el tercer interruptor tiene exactamente 1 1 a su derecha.

0111 – cambiar el interruptor de la derecha

0101 – el segundo más a la derecha tiene exactamente 1 1 a su derecha.

0100 – cambiar el interruptor de la derecha

1100 – el cuarto más a la derecha tiene exactamente 1 1 a su derecha

Etcétera.

Esta técnica se llama un “Código gris”, llamado así por el matemático que sugirió la secuencia (y otras similares). Tiene la ventaja de que solo un interruptor cambia a la vez, lo que significa que la lectura del equipo no se verá confundida por el cambio de varios interruptores de valor “a la vez”, que en realidad se convierte en “realmente rápido, pero no simultáneamente”. Con un código gris, no tiene que preocuparse por la imposibilidad de que dos interruptores cambien de posición exactamente al mismo tiempo, ya que solo un interruptor cambiará a la vez.

Answer 3

Hay dos valores posibles para cada interruptor. Como hay 4 interruptores, el número total de permutaciones o combinaciones únicas es 2 ^ 4 = 16.