Buscamos soluciones complejas, así que cambiemos lo desconocido a [math] z [/ math]:
[matemáticas] z ^ 6 = i ^ 6 = i ^ 2 i ^ 4 = (-1) (1) = -1 [/ matemáticas]
Así que buscamos las 6 6 raíces de [matemáticas] -1. [/ Matemáticas] El truco es la identidad de Euler, [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ Matemáticas]
Para manejar las respuestas múltiples que esperamos, tenga en cuenta que para el número entero [matemática] k, [/ matemática] La identidad de Euler para la potencia [matemática] 2k [/ matemática] es: [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/matemáticas]
- Si m / a = n / b entonces, ¿cómo puedo probar que (m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) = (am + bn)?
- ¿Es R ^ 1 igual a R, y si no, pueden considerarse isomórficos? Además, ¿hay algún significado para R ^ n donde n no sea igual a un número entero mayor que 0?
- ¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de [math] \ frac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} [/ math]?
- ¿Por qué ‘a dividido por b’ significa lo mismo que ‘a multiplicado por el recíproco de b’?
- ¿Es posible integrar [math] \ int_0 ^ 1 \ delta (0) dx [/ math]?
[matemáticas] z ^ 6 = -1 = e ^ {i \ pi} = e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} = e ^ {i \ pi (1 + 2k)} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = (e ^ {i \ pi (1 + 2k)}) ^ {\ frac 1 6} [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {i \ pi (1 + 2k) / 6} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ cos (\ pi (1 + 2k) / 6) + i \ sin (\ pi (1 + 2k) / 6) [/ matemáticas]
La última parte con las funciones trigonométricas proviene de la fórmula de Euler, por supuesto.
Cualquier 6 [matemáticas] k [/ matemáticas] consecutivas nos darán las seis sextas raíces. Comenzando en [matemática] k = 0, [/ matemática] estos son los puntos en el círculo unitario en [matemática] \ pi / 6 = 30 ^ \ circ, [/ matemática] [matemática] 3 \ pi / 6 = 90 ^ \ circ, [/ math] [math] 5 \ pi / 6 = 150 ^ \ circ, [/ math] [math] 7 \ pi / 6 = 210 ^ \ circ, [/ math] [math] 3 \ pi / 2 = 270 ^ \ circ [/ math] y [math] 11 \ pi / 6 = 330 ^ \ circ. [/ Math] Estos son [math] 360/6 = 60 ^ \ circ [/ math] aparte, también lo hará repite para las siguientes [matemáticas] k [/ matemáticas] s, entonces tenemos exactamente seis raíces.
Todos estos son ángulos fáciles de evaluar seno y coseno; enumeremos las seis raíces en coordenadas rectangulares, comenzando con [math] \ cos (30 ^ \ circ) + i \ sin (30 ^ \ circ). [/ math]
[matemáticas] \ frac 1 2 (\ sqrt {3} + i) [/ matemáticas]
[matemáticas] i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac 1 2 (- \ sqrt {3} + i) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac 1 2 (- \ sqrt {3} – i) [/ matemáticas]
[matemáticas] -i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac 1 2 (\ sqrt {3} – i) [/ matemáticas]
Podemos abreviar esta lista de seis como: [math] \ pm i, \ frac 1 2 (\ pm \ sqrt {3} \ pm i). [/ Math]
Gracias a Nathan Aung por un comentario con esta imagen y más:
Comprobación: deberíamos comprobarlos todos, lo que podemos hacer así:
[matemáticas] (\ pm i) ^ 6 = (-1) ^ 3 = -1 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]
Puede verificar los cuatro restantes a la vez, pero los signos en las raíces más complicadas se vuelven confusos; Comprobaré uno de esos y dejaré el resto como ejercicio.
[matemáticas] (\ sqrt {3} + i) (\ sqrt {3} + i) = (2 + 2i \ sqrt {3}) = 2 (1 + i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ sqrt {3} + i) ^ 2 (\ sqrt {3} + i) = 2 (1 + i \ sqrt {3}) (\ sqrt {3} + i) = 2 (0 + 4i ) = 8i = 2 ^ 3 i [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ sqrt {3} + i) ^ 6 = 2 ^ 6 i ^ 2 = -2 ^ 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ frac 1 2 (\ sqrt {3} + i)) ^ 6 [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {1} {2 ^ 6} (\ sqrt {3} + i) ^ 6 [ / matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {1} {2 ^ 6} (- 2 ^ 6) = -1 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]