¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de [math] \ frac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} [/ math]?

Answer 1

¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de [math] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} [/ math]?

[matemáticas] s ^ 4 + 4a ^ 4 = s ^ 4 + 4a ^ 2x ^ 2 + 4a ^ 4-4a ^ 2x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] = (s ^ 2 + 2 [/ matemática] a ^ 2 [matemática]) ^ 2- (2ax) ^ 2 [/ matemática]

[matemática] = (s ^ 2-2ax + 2 [/ matemática] a ^ 2 [matemática]) (s ^ 2 + 2ax + 2 [/ matemática] a ^ 2 [matemática]) [/ matemática]

[matemáticas] = \ {(sa) ^ 2 + a ^ 2) (s + a) ^ 2 + a ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ dfrac {A (sa) + B} {(sa) ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac {C (s + a ) + D} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2} …… (1) [/ matemáticas]

Si cambiamos el signo de s

[matemáticas] \ dfrac {-s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ dfrac {A (-sa) + B} {(- sa) ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac {C ( -s + a) + D} {(- s + a) ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {-A (s + a) + B} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac {-C (sa) + D} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ dfrac {A (s + a) -B} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac { C (sa) -D} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2}… .. (2) [/ matemáticas]

Comparando (1) y (2)

[matemáticas] C = A [/ matemáticas] y [matemáticas] D = -B [/ matemáticas]

Entonces (1) puede reescribirse como

[matemáticas] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ dfrac {A (sa) + B} {(sa) ^ 2 + a ^ 2} + \ dfrac {A (s + a ) -B} {(s + a) ^ 2 + a ^ 2} …… (3) [/ matemáticas]

Multiplicar (3) por MCM de denominador

[matemáticas] s ^ 3 = (A (sa) + B) ((s + a) ^ 2 + a ^ 2) + (A (s + a) -B) ((sa) ^ 2 + a ^ 2) [/matemáticas]

Comparando coeficientes del término [matemática] s ^ 3 [/ matemática] en ambos lados,

[matemáticas] 2A = 1; A = \ dfrac 12 [/ matemáticas]

conectando [matemática] s = a [/ matemática] en ambos lados obtenemos [matemática] B = 0 [/ matemática]

Entonces

[matemáticas] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ dfrac {(s + a)} {2 ((s + a) ^ 2 + a ^ 2)} + \ dfrac {( sa) -B} {2 ((sa) ^ 2 + a ^ 2)} [/ math]

L ^ {- 1} [matemáticas] \ dfrac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = L ^ {- 1} \ dfrac {(s + a)} {2 ((s + a) ^ 2 + a ^ 2)} + L ^ {- 1} \ dfrac {(s + a)} {2 ((s + a) ^ 2 + a ^ 2)} [/ math]

[matemáticas] = e ^ {- at} L ^ {- 1} \ dfrac {s} {2 (s ^ 2 + a ^ 2)} + e ^ {at} L ^ {- 1} \ dfrac {s} {2 (s ^ 2 + a ^ 2)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac 12 \ {e ^ {- en} + e ^ {en} \} \ cos en [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ cosh at \ cos at} [/ math]

Answer 2

No hay información sobre [math] a [/ math], por lo tanto, suponiendo que [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math]

Ahora, uno puede hacer fácilmente fracciones parciales de la siguiente manera

[matemáticas] \ frac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} = \ frac {s ^ 3} {s ^ 4-4i ^ 2a ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {s ^ 3} {(s ^ 2 + 2ia ^ 2) (s ^ 2-2ia ^ 2)} = \ frac 12 \ left (\ frac {s} {s ^ 2 + 2ia ^ 2} + \ frac {s} {s ^ 2-2ia ^ 2} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac 12 \ left (\ frac {s} {s ^ 2 + (a \ sqrt {2i}) ^ 2} + \ frac {s} {s ^ 2- (a \ sqrt {2i}) ^ 2} \ right) [/ math]

Ahora, tomando transformadas inversas de Laplace * , en ambos lados

[matemáticas] L ^ {- 1} \ izquierda [\ frac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} \ derecha] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac 12 \ left (L ^ {- 1} \ left [\ frac {s} {s ^ 2 + (a \ sqrt {2i}) ^ 2} \ right] + L ^ {- 1} \ left [\ frac {s} {s ^ 2- (a \ sqrt {2i}) ^ 2} \ right] \ right) [/ math]

[math] = \ frac 12 \ left (\ cos (at \ sqrt {2i}) + \ cosh (at \ sqrt {2i}) \ right) [/ math]

* NOTA: Uno debe conocer las transformaciones básicas de Laplace

[matemática] L [\ cos (at)] = \ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2} [/ matemática] y [matemática] L [\ cosh (at)] = \ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2} [/ matemáticas]

[math] \ color {red} {\ text {las fracciones parciales a menudo son útiles para funciones racionales}} [/ math]