¿Cómo es 3 (x + 1) (x + 2) divisible por 6?

Answer 1

Bien, tenemos un producto que es al menos un múltiplo de 3 porque las dos piezas variables se multiplican por tres.

Ahora hagamos un razonamiento deductivo.

Suponga que x es impar. Si x es impar, eso significa que [matemática] x + 1 [/ matemática] es par y [matemática] x + 2 [/ matemática] es impar. Aunque [math] x + 2 [/ math] es impar, solo necesitamos un número en todo el producto para que sea par. Si es par, eso significa que es un múltiplo de 2. Si un factor es par y todo es un múltiplo de 3, entonces todo debe ser un múltiplo de 6 porque es un múltiplo de 3 y algún número par.

Asumamos la otra forma de cubrir las bases. Suponga que x es par. Bueno, sucede lo mismo. Si x es par, entonces [matemática] x + 1 [/ matemática] debe ser impar y [matemática] x + 2 [/ matemática] debe ser par. Como todavía tenemos los dos factores variables que se multiplican por 2, esto significa que nuevamente es un múltiplo de 6 porque es un múltiplo de 2 y 3. (Es un múltiplo de 12 porque en este caso tenemos DOS incluso números. Un número que tiene dos factores pares es un múltiplo de 4, [math] 2 \ cdot 2 [/ math]).

Esto prueba que [matemáticas] 3 (x + 1) (x + 2) [/ matemáticas] debe ser un múltiplo de 6.

Answer 2

Soy un entusiasta de las matemáticas, así que por favor sea considerado en criticar mi respuesta.

La forma de abordar esto es probar valores pares e impares para x, negativo, positivo y cero. Los números imaginarios también se pueden probar, pero como x es constante, creo que no importará.

Caso positivo – sea x ser 1-3 (1 + 1) (1 + 2) = 3 * 2 * 3 = 18

sea ​​x x 2 – 3 (2 + 1) (2 + 2) = 3 * 3 * 4 = 36

Números negativos: para -1 y -2, la misma evaluación que la anterior devuelve 0.

Cero: la misma evaluación que la anterior devuelve 6.

Todos estos son divisibles por 6.

Suponiendo que no desea que su ecuación termine en 0, ignore los valores negativos 🙂

Otra forma de ver esto es que estás multiplicando 3 por a (x * x + 3x + 2), que siempre será un número par, porque x * x + 3x siempre será un número par como: –

1. cuadrado y múltiplos de números pares siempre siendo pares

2. los cuadrados de números impares pueden ser pares o impares, pero cuando agrega 3 * número impar, (que será un número impar) – número impar + número impar = número par.

Espero que esto ayude 🙂

Answer 3

Podemos simplificar [math] \ dfrac {3 (x + 1) (x + 2)} 6 [/ math] en [math] \ dfrac {(x + 1) (x + 2)} 2 [/ math].

Desde aquí, no importa qué valor de [matemática] x [/ matemática] elija, positivo o negativo, [matemática] (x + 1) (x + 2) [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática ]

Si sustituimos [math] x = 2k [/ math] por cualquier número entero [math] k [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle (2k + 1) (2k + 2) = 2 (2k + 1) (k + 1) \ tag {i} [/ matemáticas]

Que es un entero.

Del mismo modo, la sustitución [matemática] x = 2k + 1 [/ matemática] da

[matemáticas] \ displaystyle (2k + 1 + 1) (2k + 3) = (2k + 2) (2k + 3) = 2 (k + 1) (2k + 3) \ tag {ii} [/ matemáticas]

Que de nuevo, es un número entero.

Incluso cuando [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] (x + 1) (x + 2) = (0 + 1) (0 + 2) = 2 [/ matemáticas]

Que se puede reducir a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] 3 (x + 1) (x + 2) [/ math] es divisible por [math] 6 [/ math].

Answer 4

[matemáticas] x (x + 1) (x + 2) [/ matemáticas] tiene que ser divisible por 6, porque contiene tres números sucesivos, de los cuales al menos uno tiene que ser divisible por 2 y al menos un divisible por 3 .

[matemáticas] 3 (x + 1) (x + 2) [/ matemáticas] es divisible por 3, obviamente. Pero la parte que no entiendes es que [matemáticas] (x + 1) (x + 2) [/ matemáticas] es divisible por 2. Bueno, lo es y es uno de los conceptos importantes en aritmética.

• Si x es divisible por 2 (básicamente, si es par), también lo es [matemáticas] x + 2 [/ matemáticas], porque sumar 2 a un número no cambia su paridad.
• Si x no es divisible por 2 (básicamente, si es impar), entonces [math] x + 1 [/ math] tiene que serlo, porque sumar 1 a un número cambia su paridad.

Espero que hayas entendido esto ahora. Puede intentar reemplazar x con un número real para que pueda notar los patrones que he mencionado.

Answer 5

Supongo que x es un número entero positivo.

① Divisibilidad por 6 significa divisibilidad por 2 y 3.

② Eso significa que solo necesitamos mostrar que (x + 1) (x + 2) es divisible por 2.

③ (x + 1) (x + 2)

= (x + 1) [(x) +2]

= x (x + 1) +2 (x + 1)

④ x (x + 1) siendo el producto de DOS INTEGEROS CONSECUTIVOS DEBE ser par o divisible por 2.

⑤ 2 (x + 1) es obviamente divisible por 2

⑥ Entonces, (x + 1) (x + 2) debe ser divisible por 2.

Answer 6

Bueno, ya que estás usando PMI

Estás haciendo esto para números naturales

Considerar

3 (x + 1) (x + 2)

Si x es par

Entonces x + 1 es impar

x + 2 es par

Se puede sacar un factor de 2 de x + 2 que se puede multiplicar por 3

Para dar 6 (x + 1) ((x + 2) / 2)

Que es divisible por 6

Del mismo modo, si x es impar

X + 1 es par

Para que podamos escribir

6 ((x + 1) / 2) (x + 2)

Entonces para cualquier x

Es divisible por 6

Por lo tanto demostrado 🙂

Answer 7

Supongamos que x es un número entero par;

[matemáticas] x = 2k [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (2k + 1) (2k + 2) [/ matemáticas]

Sabemos que (2k + 2) será igual, así que ahora podemos dejar

[matemáticas] 2m = (2k + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] m = (k + 1) [/ matemáticas]

lo que dará como resultado: [matemáticas] 3 (2m) (2m-1) = 6 (2m ^ 2-m) [/ matemáticas] que es divisible por 6.

Ahora supongamos que x es un entero impar;

[matemáticas] x = 2k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 (2k + 2) (2k + 3) [/ matemáticas]

Sabemos que (2k + 2) será igual, así que ahora podemos dejar

[matemáticas] 2m = (2k + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] m = (k + 1) [/ matemáticas]

lo que resultará en: [matemáticas] 3 (2m) (2m + 1) = 6 (2m ^ 2 + m) [/ matemáticas] que nuevamente es divisible por 6.

Answer 8

Primero haz esto

[matemáticas] \ dfrac {3 (x + 1) (x + 2)} {6} = \ dfrac {(x + 1) (x + 2)} {2} [/ matemáticas]

Ahora, mira el numerador. Tenemos [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + 2) [/ matemáticas], que son dos números consecutivos.

Teorema: Exactamente uno de los enteros consecutivos [matemáticos] n [/ matemáticos] es divisible por [matemático] n [/ matemático].

Y aquí está la prueba del problema (no el teorema)

Caso I: [matemáticas] x + 1 = 2k [/ matemáticas], donde [matemáticas] k \ in \ Z [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) (x + 2)} {2} = \ dfrac {2k (2k + 1)} {2} = k (2k + 1) [/ matemáticas]

Caso II: [matemáticas] x + 1 = 2k + 1 [/ matemáticas], donde [matemáticas] k \ in \ Z [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) (x + 2)} {2} = \ dfrac {(2k + 1) (2k + 2)} {2} = (k + 1) (2k + 1) [ /matemáticas]

---

Y eso es todo. Tómalo con calma.

Answer 9

x + 1 y x + 2 son números consecutivos.

Entonces, uno de ellos es extraño y uno de ellos es par.

Uno de ellos es de la forma 2k y otro 2k + 1

3 (x + 1) (x + 2) = 3 * 2k * (2k + 1) = 6m

Hecho

Answer 10

Si x es un número entero, supongamos que x es impar (ya sea negativo o positivo),

Si x es impar, x + 1 es par, x + 2 es impar

Si suponemos que x es par, entonces x + 1 es impar y x + 2 es par

Entonces, cualquiera de (x + 1) o (x + 2) es siempre par, en otras palabras, múltiplos de 2.

Por lo tanto (x + 1) (x + 2) es divisible por 2, y 3 (x + 1) (x + 2) es divisible por 6.

Answer 11

La forma en que mostraría esto es la siguiente:

Comience diciendo x (x + 1) (x + 2) = 6y ya que x (x + 1) (x + 2) es divisible por 6

Esto significa 3x (x + 1) (x + 2) = 3 (6y) = 18y

por lo tanto 3 (x + 1) (x + 2) = 18 (y / x)

y dado que 18 es divisible por 6, entonces también debe ser 18 (y / x)

y luego se deduce que 3 (x + 1) (x + 2) es divisible por 6.

¡Espero que esto ayude!

Answer 12

Puede usar la inducción matemática nuevamente para mostrar que [matemática] 3 (x + 1) (x + 2) [/ matemática] es divisible por 6. Tome [matemática] x = 0 [/ matemática] como el caso base, suponga es válido para [matemática] x = 1..n [/ matemática] luego muestra que se extiende a [matemática] x = n + 1 [/ matemática].

Answer 13

Muy fácil

Primero eliminemos el factor 3: esto deja (x + 1) (x + 2) que ahora debe ser divisible por 2.

Ahora, x + 1 y x + 2 son números consecutivos, por lo que, sea lo que sea x, uno debe ser par, por lo tanto divisible por dos.

Qed

Answer 14

Obviamente, es divisible por 3, el 3 está justo ahí en la fórmula, por lo que solo tiene que demostrar que es divisible por 2. Y eso es fácil si recuerda que uno de cada dos números consecutivos es par.

Ahora, si realmente desea un problema desafiante en la inducción, intente probar que el producto de cualquier [matemática] n [/ matemática] los números consecutivos son divisibles por [matemáticas] n! [/ matemáticas] Es más difícil, pero es importante.

Answer 15

La solución general, no por inducción. Pero incluye la solución a su pregunta en el título. Cada 3 números enteros, hay un divisible por 3, cada 2 números enteros, hay un número par. x (x + 1) (x + 2) son 3 enteros sucesivos. Según la explicación dada, hay al menos un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3, para cada valor entero en x, entonces el número es múltiplo de 2 y múltiplo de 3, lo que implica que es múltiplo de 6.

Answer 16

su número dado es 3 * (x + 1) * (x + 2)

Un número es divisible por 6 solo cuando es divisible por 2 y 3 .

Este número es claramente divisible por 3.

Para que este número sea divisible por 6, uno de los dos números [(x + 1) o (x + 2)] debe ser un número par.

si x es impar, entonces x + 1 es par .

Además, si x es par, entonces x + 2 es par .

hense, 3 * (n + 1) * (n + 2) siempre es divisible por 6

Answer 17

Como dijiste que estabas intentando probar esto por inducción, hagámoslo.

Caso base: n = 1

(1) (2) (3) = 6

Hipótesis inductiva:

Supongamos que 6 divide (n) (n + 1) (n + 2)

Debemos mostrar que 6 también divide (n + 1) (n + 2) (n + 3) en base a la hipótesis inductiva.

(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) (n) + 3 (n + 1) (n + 2)

¡Ah, ya veo dónde estás!

Digo, uno de (n + 1) (n + 2) es par. si n es par, n + 2 es par, si n es impar, n + 1 es par.

(n + 1) (n + 2) = 3k

(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) (n) + 6k

6 divide 6k y 6 divide (n) (n + 1) (n + 2) según la hipótesis inductiva.

QED

La inducción probablemente no sea el enfoque que elegiría en este caso. Podríamos haber usado exactamente el mismo argumento que solía decir (n + 1) (n + 2) es par, para decir que 3 divide (n) (n + 1) (n + 2)

Pero, si realmente ama la prueba por inducción, también podría usar una prueba por inducción para probar 6 divide 3 (n + 1) (n + 2)

Lema: 6 divide 3 (n + 1) (n + 2)

caso base n = 1

3 (2) (3) = 18

Hipótesis inductiva:

Suponga que 6 divide 3 (n + 1) (n + 2)

Debemos mostrar que 6 también divide 3 (n + 2) (n + 3) en base a la hipótesis inductiva.

3 (n + 2) (n + 3) = 3 (n + 2) (n + 1) + 6 (n + 2)

6 divide 6 (n + 2) y 6 divide 3 (n + 2) (n + 1) según la hipótesis inductiva.

QED

Haga esto primero, luego invoque su lema en la próxima prueba.

Answer 18

Si puede probar que (x + 1) (x + 2) es par, puede probar que 3 (x + 1) (x + 2) es divisible por 6.

La mayoría de los comentaristas sugirieron hacer un análisis de caso. Sin embargo, el análisis de casos requiere una prueba de que esos son los únicos casos que deben considerarse, es decir, que todos los números naturales son pares o impares. Eso nos parece tan natural que es posible que no notes que es un hecho que realmente necesita ser probado. Sin embargo, puede mostrar que (x + 1) (x + 2) es incluso por inducción, sin requerir ningún teorema adicional.

1. (x + 1) (x + 2) es ciertamente incluso para x = 0.
2. (Paso inductivo) Dado (x + 1) (x + 2) es par, (x + 1) (x + 2) + 2x + 4 también es par, ya que agregamos solo números pares. (x + 1) (x + 2) + 2x + 4 = / por distributividad de multiplicación / = (x + 1) (x + 2) +2 (x + 2) = / por distributividad de multiplicación / = (x + 1 + 2) (x + 2) = / por definición de suma / = ((x + 1) +2) ((x + 1) +1) = / por conmutatividad de multiplicación / = ((x + 1) + 1) ((x + 1) +2) también es par. Esto prueba el enunciado para (x + 1) a partir de una prueba del enunciado para x, por lo que está comprobado para todos los números naturales.

Especifiqué las “reglas” utilizadas para la transición de un paso a otro, por lo que está claro que una prueba rigurosa requiere una prueba de muchas más cosas.

Answer 19

Primero consideramos las leyes básicas de división.

1) Cualquier número positivo consecutivo es divisible por 2.

2. El producto de 3 * (2 múltiples) siempre es divisible por 6.

Entonces, ahora (x + 1) * (x + 2) es divisible por 2 ya que son números consecutivos, su producto es divisible por 2.

Como es 3 * (2 múltiples), siempre es divisible por 6.

Creo que ahora estoy claro.

Answer 20

O x o x + 1 tiene que ser divisible por 2, y luego multiplicas por 3. De manera similar en x (x + 1) (x + 2) uno de esos tres números tiene que ser un múltiplo de tres, y uno o dos de ellos es un múltiplo de dos.