Cómo evaluar [math] \ int {\ sin {\ log {x}} + \ cos {\ log {x}} \ cdot dx} [/ math]

Answer 1

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int (\ sin {\ log x} + \ cos {\ log x}) \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] \ log x = t [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ t [/ matemáticas]

[math] \ frac {1} {x} dx = \ mathrm dt [/ math]

[matemáticas] dx = e ^ t \ mathrm dt [/ matemáticas]

La integral se convierte,

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int e ^ t (\ sin t + \ cos t) \ mathrm dt [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int e ^ t \ sin t \ mathrm dt + \ int e ^ t \ cos t \ mathrm dt [/ math]

Integrando por partes,

[matemáticas] I = \ displaystyle \ sin t \ int e ^ t \ mathrm dt – \ biggr (\ int \ cos t (\ int e ^ t \ mathrm dt) \ mathrm dt \ biggr) + \ int e ^ t \ cos t \ mathrm dt [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ sin t \ int e ^ t \ mathrm dt – \ int e ^ t \ cos t \ mathrm dt + \ int e ^ t \ cos t \ mathrm dt [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle e ^ t \ sin t + C [/ matemáticas]

Poniendo el valor de [math] t [/ math] como [math] \ log x, [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle x \ sin {\ log x} + K [/ matemáticas]

donde K es la constante de integración

Answer 2

tomar registro x = t

1 / x = dt / dx

x = e ^ t

Ahora, reemplace log x por t y dx por e ^ tdt

entonces, e ^ t (sin t + cos t) dt

ahora, usa fracción parcial y resuelve. Si tiene problemas para resolver usando una fracción parcial, dígame en un comentario. Te ayudaría aún más.

Answer 3

Tome logx = t

x = e ^ t

1 / xdx = dt

dx = dte ^ t

(sin (t) e ^ t + cos (t) e ^ t) dt puede integrarse

Que es e ^ tsint-integración de cos (t) e ^ t + integración de cos (t) e ^ t que se cancelan

Sin (t) e ^ t es la respuesta solo reemplaza logx con t

Invite si su problema fue resuelto o envíeme un mensaje si tiene alguna duda

Answer 4

Esta es la forma más corta de hacer esta suma que conozco.

Answer 5

Casi todas las respuestas anteriores usaron sustitución, pero supongo que hubiera sido más fácil y breve si hubiéramos usado la integración por partes

(PD: perdona mi escritura a mano. Sé que apesta)

(PPS me cree que fue más corto de resolver de lo que parece ser. Simplemente lo “estiré” para que fuera más fácil de entender.

* Felicitaciones * 🙂

Answer 6

Establezca [math] logx = \ theta, [/ math] dando [math] dx = e ^ \ theta d \ theta. [/matemáticas]

Su Integrando ahora se convierte en [matemáticas] (sin \ theta + cos \ theta) e ^ \ theta [/ matemáticas]

Ahora aplique por regla de partes y eso es todo.