Cómo resolver [math] \ sqrt [3] {i} = x [/ math]

Answer 1

Aquí hay una manera simple y algebraica de encontrar la raíz cúbica de [math] \ sqrt {-1} [/ math].

---

Cubica ambos lados ya que la raíz cúbica de [math] i [/ math] no está realmente bien definida. Al hacerlo, ahora tenemos

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3 = i \ tag1 [/ matemáticas]

Suponga que [math] x = a + bi [/ math], un número y la expansión da

[matemáticas] \ displaystyle \ underbrace {(a ^ 3-3ab ^ 2)} _ 0+ \ underbrace {(3a ^ 2b-b ^ 3)} _ {1} i \ tag2 [/ math]

Al igualar los términos correspondientes como se resalta en [matemáticas] (2) [/ matemáticas], obtenemos un sistema de ecuaciones

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} y a ^ 3-3ab ^ 2 = 0 \ tag3 \\ & 3a ^ 2b-b ^ 3 = 1 \ tag4 \ end {align *} [/ math]

Con soluciones reales

[matemáticas] \ displaystyle (a, b) = (0, -1) \ (a, b) = \ left (\ pm \ dfrac {\ sqrt3} 2, \ dfrac 12 \ right) \ tag5 [/ math]

Por lo tanto, tenemos las raíces cúbicas de [matemática] i [/ matemática] como [matemática] x = -i, \ x = \ dfrac {\ sqrt {3}} 2+ \ dfrac i2, \ x = – \ dfrac { \ sqrt3} 2+ \ dfrac i2 [/ math].

Answer 2

Use la forma exponencial para el número complejo:

[matemáticas] \ displaystyle i = e ^ {\ frac {i \ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle i ^ {\ frac 13} = e ^ {\ frac {i \ pi} {6}} [/ matemáticas].

Puede volver a convertir esto en coordenadas rectangulares si lo desea, pero este es un número complejo perfectamente bueno.

Answer 3

Además de la excelente respuesta de Frank Wei, escriba [matemáticas] i [/ matemáticas] en coordenadas polares, pero tenga en cuenta que hay múltiples representaciones:

[matemáticas] i = \ exp (i \ pi / 2 + 2 \ pi n) [/ matemáticas]

donde n es cualquier número entero.

Ahora, tomando la raíz cúbica simple, divide el exponente entre 3. Verá que hay 3 raíces distintas, separadas por [matemáticas] 120 ^ \ circ [/ matemáticas] cuando se trazan en el plano complejo: [matemáticas] -i, \ sqrt {3} / 2 + i / 2, – \ sqrt {3} / 2 + i / 2 [/ math].

Esto puede ser una sorpresa, pero cualquier raíz cúbica en el conjunto de números complejos da 3 valores distintos. Por ejemplo, la raíz cúbica de 1 no es solo 1, sino también [matemáticas] -1/2 \ pm \ sqrt {3} / 2 \, i [/ matemáticas] nuevamente, 3 raíces, separadas por [matemáticas] 120 ^ \ circ [/ math] en el plano complejo.

Answer 4

x = (i) ^ (1/3) = [e ^ (½πi + 2πni)] ^ (1/3), n = -1,0,1,

(i) cuando n = 0,

x = e ^ (iπ / 6) = cis (π / 6) = cos (π / 6) + isin (π / 6) = (√3 / 2) + (½) i = ½ (√3 + i)

(ii) cuando n = 1,

x = [e ^ (½πi + 2πi)] ^ (1/3)

= [e ^ (5πi / 2)] ^ (1/3)

= e ^ (5iπ / 6)

= cis (5π / 6)

= cos (5π / 6) + isin (5π / 6)

= cos {π- (π / 6)} + isin {π- (π / 6)}

= -cos (π / 6) + isin (π / 6)

= – (√3 / 2) + ½i

= ½ {-√3 + i}

(iii) cuando n = -1,

x = {e ^ (½πi-2πi)} ^ (1/3)

= {e ^ (- 3πi / 2)} ^ (1/3)

= e ^ (- ½πi)

= cis (-½π)

= cos (-½π) + isin (-½π)

= cos (½π) -isina (½π)

= 0 -i (1)

= -i

Answer 5

tome la raíz qeub de x al hacerlo, así será capaz de descifrarlo.