Simplemente resuelvamos el [math] \ sin x = t [/ math] general y luego establezcamos [math] t = 8. [/ Math]
[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {- ix} = \ cos x – i \ sin x [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {ix} – e ^ {- ix} = 2i \ sin x [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ sen x = \ dfrac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} [/ matemáticas]
Sea [math] z = e ^ {ix}. [/ Math] [math] \ quad t = \ sin x. [/ Math]
[matemáticas] t = \ dfrac {z – 1 / z} {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2it = z-1 / z [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = z ^ 2 – 2itz – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] z = it \ pm \ sqrt {1-t ^ 2} [/ matemáticas]
Estamos interesados en el caso complejo donde [matemáticas] t ^ 2> 1 [/ matemáticas] para obtener la raíz cuadrada de un número negativo.
[matemáticas] z = i (t \ pm \ sqrt {t ^ 2-1}) = e ^ {i \ pi / 2} e ^ {\ ln (t \ pm \ sqrt {t ^ 2-1})} [/matemáticas]
Siempre podemos multiplicar por [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para el entero [math] k. [/ Math]
[matemáticas] e ^ {ix} = z = e ^ {i \ pi / 2 + \ ln (t \ pm \ sqrt {t ^ 2-1}) + 2 \ pi ki} [/ matemáticas]
[matemáticas] ix = i \ pi / 2 + \ ln (t \ pm \ sqrt {t ^ 2-1}) + 2 \ pi ki [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pi / 2 – 2 \ pi k -i \ ln (t \ pm \ sqrt {t ^ 2-1}) [/ matemáticas]
En nuestro caso [math] t = 8. [/ math] Volteemos el signo de [math] k, [/ math] que todavía se extiende sobre los enteros.
[matemáticas] x = \ pi / 2 + 2 \ pi k – i \ ln (8 \ pm \ sqrt {63}) [/ matemáticas]
Comprobación: solo las [matemáticas] + [/ matemáticas]
[matemáticas] z = e ^ {ix} = e ^ {i (\ pi / 2 + 2 \ pi k – i \ ln (8 + \ sqrt {63}))} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = (8 + \ sqrt {63}) e ^ {i \ pi / 2} = (8 + \ sqrt {63}) i [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 / z = \ dfrac {-i} {8 + \ sqrt {63}} \ dfrac {8- \ sqrt {63}} {8- \ sqrt {63}} = -i (8- \ sqrt {63}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} = \ dfrac {(8 + \ sqrt {63}) i – -i (8- \ sqrt {63 })} {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin x = \ dfrac {16i} {2i} = 8 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]