Use la expansión asintótica del factorial, también conocida como fórmula de Stirling
[matemáticas] n! \ approx \ sqrt {2 \ pi} n ^ {n + 1/2} e ^ {- n} [/ matemáticas].
Usando esta fórmula es bastante sencillo encontrar que el límite es [math] \ frac {27} {4} [/ math].
Aquí se explica cómo hacerlo:
- ¿Por qué tenemos que igualar el dy / dx de una función cuadrática a cero para encontrar el punto de inflexión de la curva gráfica?
- ¿Cuál es la anti-derivada de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]?
- Cómo encontrar el área encerrada por [matemáticas] 2 | x | +3 | y | \ le 6 [/ matemáticas]
- Cómo demostrar que una función está aumentando
- ¿Cómo podemos expresar una raíz de cualquier polinomio como una serie numérica de modo que pueda calcularse con precisión arbitraria?
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ frac {(3n + 1)!} {(n + 1)! (2n)!} \ right) ^ {1 / n} = \ lim_ { n \ rightarrow \ infty} \ left (\ frac {\ sqrt {2 \ pi} \ left (3n + 1 \ right) ^ {3n + 3/2} e ^ {- ((n3 + 1)}} {\ sqrt {2 \ pi} \ left (n + 1 \ right) ^ {n + 3/2} e ^ {- (n + 1)} \ sqrt {2 \ pi} \ left (2n \ right) ^ {2n + 1/2} e ^ {- 2n}} \ right) ^ {1 / n} [/ math]
Simplificando esta expresión obtenemos
[matemáticas] \ left (\ frac {\ left (3n + 1 \ right) ^ {3n + 3/2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ left (n + 1 \ right) ^ {n + 3 / 2} \ left (2n \ right) ^ {2n + 1/2}} \ right) ^ {1 / n} [/ math]
El siguiente paso es
[matemáticas] \ left (\ frac {(3n) ^ {3n}} {n ^ {n} (2n) ^ {2n}} \ right) ^ {1 / n} [/ math]
Simplemente con esto obtenemos [matemáticas] \ frac {3 ^ 3} {2 ^ 2} [/ matemáticas]