En general, este no es un problema divertido de hacer a mano.
Aquí está la cosa: no es demasiado difícil encontrar un conjunto de expansión , es decir, un conjunto de vectores que abarcan el campo de división. Si las raíces son [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots \ alpha_n [/ math] y el polinomio tiene grado [math] k [/ math], entonces el conjunto de todo de la forma
[matemáticas] \ prod_ {j = 1} ^ k \ alpha_j ^ {t_j} [/ matemáticas]
donde [math] 0 \ leq t_j <k [/ math], necesariamente debe abarcar el espacio.
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La dificultad está en determinar cuáles de estas expresiones son linealmente independientes. Ciertamente puedes hacerlo, pero en general es un trabajo desagradable. Sin embargo, aquí está el enfoque: tenga en cuenta que sus factores polinomiales como
[matemáticas] (X – \ alpha_1) (X – \ alpha_2) \ ldots (X – \ alpha_k) [/ matemáticas],
y, en particular, el término constante del polinomio debe ser [math] (-1) ^ k \ alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_k [/ math]. Con un poco más de reflexión, verás que obtienes relaciones similares de cualquier otro coeficiente del polinomio (¡incluidos los coeficientes que son cero!). Además, estas son las únicas relaciones: si se le dan estas relaciones, puede reconstruir el polinomio original.
Entonces, todo lo que queda es usar esas relaciones para determinar una base de su conjunto de expansión. Como dije antes, esto no es muy divertido de hacer a mano, pero las computadoras modernas encontrarán la respuesta para usted muy rápidamente.