¿Cómo se resuelve para [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 – 16x + 65}} [/ math]?

Answer 1

Primero escribamos la raíz cuadrada del denominador en una forma diferente completando el cuadrado. Esto nos da [matemáticas] (x-8) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Ahora usemos la sustitución [math] u = x-8 [/ math] en la integral.

[matemáticas] \ frac {du} {dx} = 1 [/ matemáticas] y así [matemáticas] du = dx [/ matemáticas]. La integral se convierte

[matemáticas] \ int {\ dfrac {1} {\ sqrt {u ^ 2 + 1}} du} [/ matemáticas]

Ahora usemos la sustitución [math] u = sinh {v} [/ math]

La integral se convierte en

[matemáticas] \ int {\ dfrac {cosh {v}} {\ sqrt {1 + sinh ^ 2 {v}}} dv} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int {\ dfrac {cosh {v}} {cosh {v}} dv} [/ matemáticas]

[matemáticas] v + C [/ matemáticas], donde C es cualquier número complejo.

Ahora recordando las sustituciones con las que terminamos

[matemáticas] arsinh {(x-8)} + C [/ matemáticas]

Esta es la solución final.

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {ecuación} \ begin {split} \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {x ^ 2-16x + 65}} & = \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {(x ^ 2-16x + 64) +1}} \\ & = \ int \ dfrac {dx} {\ sqrt {(x-8) ^ 2 + 1}} \\\ text {Let} (x-8) = \ tan u & \ implica \ mathrm {dx} = \ sec ^ 2 u \, \ mathrm {du} \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 u \, \ mathrm {du}} {\ sqrt {1 + \ tan ^ 2 u}} \\ & = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 u \, \ mathrm {du}} {\ sec u} \\ & = \ int \ sec u \, \ mathrm {du } \\ & = \ ln | \ sec u + \ tan u | + C \\ & = \ ln \ left | \ sqrt {x ^ 2-16x + 65} + (x-8) \ right | + C \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Una vez que haya terminado de integrarse con respecto a [matemáticas] u [/ matemáticas], dibuje un triángulo rectángulo con el lado opuesto [matemáticas] (x-8) [/ matemáticas] y una hipotenusa de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y calcule [math] \ tan u [/ math] y [math] \ sec u [/ math] para finalizar la solución.

Answer 3

Pruebe [math] x-8 = \ sinh u [/ math], luego [math] dx = \ cosh (u) du [/ math], donde [math] \ cosh ^ 2u = \ sinh ^ 2u + 1 [/ matemáticas].

Answer 4

En primer lugar, eso debería ser DX, no dtheta

Ahora ya casi está allí. Solo vea qué derivado de secx es ……… su secx.tanx, así que sustituya secx = t