¿Dónde has visto esto [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1} {a ^ i} \ right) = \ dfrac {1- \ frac {1} {a ^ n }} {a-1} [/ math] aplicado (útil)?

Answer 1

Hablando de una forma en que esta fórmula se aplicó de manera útil, puedo decirte una que es interesante.

Ciertamente sabes acerca de los números primos. Estos números y preguntas sobre ellos son notorios en el ámbito de la teoría de números. Romper sus últimos secretos cambiará drásticamente el mundo de una manera que difícilmente podrás imaginar y, sin duda, hará que su buscador sea el matemático más rico y prestigioso de la historia .

Entonces la gente ha estado desarrollando herramientas para estudiarlos.

Una de estas herramientas es la función zeta de Riemann, que proporciona información interesante para tener una mejor idea sobre la estructura del conjunto de números primos. La función real se define así

[math] \ zeta (s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} [/ math], para cualquier [math] s \ in \ C [/ matemática] tal que [matemática] \ Re (s) \ gt 1 [/ matemática].

En su forma simple, nada parece vincular esta hermosa fórmula con números primos, ¿verdad?

La conexión real entre la función zeta y los números primos fue descubierta más tarde por Leonhard Euler, quien demostró que

[matemáticas] \ zeta (s) = \ displaystyle \ prod_ {p \ prime} (1+ \ frac {1} {p} + \ frac {1} {p ^ {2s}} + \ frac {1} {p ^ {3s}} + …) [/ matemáticas].

¿Ves eso? ¡Tienes que calcular una suma infinita para cada número primo (que se sabe que son infinitos) y luego tomar el producto infinito de todas esas sumas! ¡DIOS MIO! Esto debe ser increíblemente complicado de manipular, ¿verdad?

Bueno, pero gracias a su fórmula (o algo parecido), esto se simplificó a

[math] \ zeta (s) = \ displaystyle \ prod_ {p \ prime} \ frac {1} {(1 + p ^ {- s})} [/ math]

Todavía #? 🙁? # Pero este es mucho mejor, ¿verdad?

Una prueba de esta identidad se puede hacer usando solo la fórmula para la serie geométrica (la fórmula que estamos discutiendo) y el teorema fundamental de la aritmética.

Answer 2

Su fórmula es otra versión de la fórmula para sumas de series geométricas. Tome la fórmula [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} r ^ i = \ frac {r (1 – r ^ n)} {1 – r}, [/ matemáticas] sustituto [matemáticas] r = \ frac {1} {a} [/ math], luego simplifica. Entonces, en cualquier lugar donde se usen series geométricas, se usa su fórmula. No es tan malo.

Answer 3

Las series geométricas son los análogos discretos de la función exponencial. Como tal, son útiles en el interés compuesto y en muchos procesos físicos en una red / procesos que tienen cuantos contables. La distribución geométrica estrechamente relacionada en Estadística es útil para describir una secuencia de ensayos independientes con dos resultados; La fórmula anterior (apropiadamente normalizada) se utiliza para calcular la probabilidad de éxito después de, como máximo, n ensayos.

Answer 4

En 2006 pasé el segundo examen actuarial que cubría las matemáticas financieras. Esta suma y su contraparte de series infinitas es fundamental para valorar las anualidades y perpetuidades que son inversiones estructuradas / préstamos bajo intereses donde se realizan pagos iguales a intervalos regulares. Este instrumento financiero básico es una base para más complicado.

Las series geométricas son fundamentales para las matemáticas de las finanzas.

Answer 5

Un ejemplo sería calcular el valor presente de una anualidad. Una anualidad es un pago garantizado por varios años.

Por ejemplo, suponga que recibirá £ 1 por año durante los próximos años [matemáticos] n [/ matemáticos] y la tasa de interés es [matemática] r [/ matemática] por año. Entonces, el valor actual de £ 1 pagadero en el año [math] i [/ math] es [math] \ frac {1} {(1 + r) ^ i} [/ math] y, por lo tanto, el valor de la anualidad completa es :

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {(1 + r) ^ i} [/ matemáticas]

que es solo tu expresión con [math] a [/ math] reemplazado por ([math] 1 + r) [/ math].

Answer 6

S (n) = A [1- r ^ n] / (1-r)

Sea A = (1 / a) yr = (1 / a)

Entonces S (n) = (1 / a) [1- (1 / a) ^ n] / [1- (1 / a)]

S (n) = (1 / a) [1- (1 / a) ^ n] / [(a-1) / a], cancele (1 / a), luego

S (n) = [1- (1 / a) ^ n] / (a-1) esto se puede usar para cualquier GP donde A = (1 / a) = r <1