Si [math] f (x, y, z) = xy ^ {2} + z ^ {y} [/ math], entonces ¿qué es [math] \ bigtriangledown \ cdot f [/ math]?

Answer 1

Tenga en cuenta que [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son ​​escalares (¡no vectores!), Entonces [matemática] xy ^ 2 + z ^ y [/ matemática ] también debe ser un escalar para cualquier triplete [matemática] (x, y, z) [/ matemática] (es decir, para cualquier valor que elija asignar a [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ math] y [math] z [/ math] del conjunto “permitido”). Formalmente (y suponiendo que estamos trabajando con números reales), definiría su función de esta manera:

[matemáticas] f \ colon \ R ^ 3 \ to \ R [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x, y, z) = xy ^ 2 + z ^ y [/ matemáticas]

Toma un triplete de números reales y devuelve un número real.

Ahora, echemos un vistazo al operador [math] \ nabla [/ math]. En realidad es un vector que contiene operadores derivados parciales:

[matemáticas] \ nabla = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {\ partial} {\ partial x_i} \ cdotp \ hat {x_i} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial} { \ partial x_1} \\\ dfrac {\ partial} {\ partial x_2} \\\ vdots \\\ dfrac {\ partial} {\ partial x_n} \ end {bmatrix} [/ math]

Para tener una idea general de lo lindo que es este triángulo invertido [math] \ nabla [/ math], definamos dos funciones:

[matemáticas] g \ colon \ R ^ 2 \ to \ R, g (x, y) = xy [/ matemáticas]

[matemáticas] h \ colon \ R ^ 2 \ to \ R ^ 2, \ vec h (x, y) = \ begin {bmatrix} x ^ 2 \\ y ^ 2 \ end {bmatrix} [/ math]

El primero toma dos números reales y genera un número real, el segundo toma dos números reales y genera un vector cuyos componentes son esos números reales al cuadrado. ¡Sabemos cómo funcionan la multiplicación escalar y los productos de puntos!

[math] \ nabla g = \ dfrac {\ partial g} {\ partial x} \ cdot \ hat \ imath + \ dfrac {\ partial g} {\ partial y} \ cdot \ hat \ jmath = y \ hat \ imath + x \ hat \ jmath = \ begin {bmatrix} y \\ x \ end {bmatrix} [/ math]

¿Ver? Simplemente multiplicamos el vector [math] \ nabla [/ math] por un escalar [math] g [/ math] y obtuvimos otro vector. Solo el estándar [math] c \ vec v = (ca, cb) [/ math] para [math] \ vec v = (a, b) [/ math]. Nada sofisticado, excepto el nombre que toma: el “gradiente” de [math] g [/ math] (bueno, hay muchas cosas sofisticadas que están sucediendo, pero no de esa manera). ” ¡Oye!” , Se podría decir, ” ¿y si punteo ese triángulo vector [math] \ nabla [/ math] con otro vector? “. ¡Excelente! Funciona. ¿Procedemos?

[matemáticas] \ nabla \ cdotp \ vec h = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {\ partial f_i} {\ partial x_i} = \ dfrac {\ partial (x ^ 2)} {\ parcial x} + \ dfrac {\ parcial (y ^ 2)} {\ parcial y} = 2x + 2y [/ matemática]

Esto se llama la divergencia de [matemáticas] h [/ matemáticas]. Obtuviste un escalar [matemáticas] 2x + 2y [/ matemáticas] al tomar ese producto de puntos. ¡Otra función [matemáticas] p \ colon \ R ^ 2 \ to \ R, p (x, y) = 2x + 2y [/ matemáticas]!

Ahora, me gustaría centrarme en cuándo puedes hacer ese producto de puntos. El producto de puntos se produce entre vectores, por lo que la función con la que puntea [math] \ nabla [/ math] debería devolver un vector (o, de manera más formal y precisa, representa un campo vectorial). La función [matemática] f (x, y, z) = xy ^ 2 + z ^ y [/ matemática] ciertamente no lo hace, lo que significa que es muy probable que quisieras decir [matemática] \ nabla f [/ matemática] (como otros dijeron, la pregunta no está redactada de manera estándar / clara):

[math] \ nabla f = \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ cdot \ hat \ imath + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ cdot \ hat \ jmath + \ dfrac {\ partial f} {\ partial z} \ cdot \ hat {k} [/ math]

[matemáticas] \ nabla f = \ hat \ imath \ cdot \ dfrac {\ partial} {\ partial x} (xy ^ 2 + z ^ y) + \ hat \ jmath \ cdot \ dfrac {\ partial} {\ partial y } (xy ^ 2 + z ^ y) + \ hat {k} \ cdot \ dfrac {\ partial} {\ partial z} (xy ^ 2 + z ^ y) [/ math]

Tomando las derivadas parciales:

[matemáticas] \ nabla f = (y ^ 2) \ hat \ imath + (2xy + \ ln (z) z ^ y) \ hat \ jmath + (yz ^ {y-1}) \ hat {k} [/ math ]

O en notación de vector de columna:

[matemáticas] \ nabla f = \ begin {bmatrix} y ^ 2 \\ 2xy + \ ln (z) z ^ y \\ yz ^ {y-1} \ end {bmatrix} [/ math]

Ahí está. Increíble.

Esta es solo una forma conveniente de pensar sobre el cálculo del gradiente de una función y la divergencia de un campo vectorial. [math] \ nabla [/ math] contiene operadores, por lo que no estás realmente “punteando” o “multiplicando” nada aquí, solo aplicando derivadas parciales y por lo tanto no puedes tratar formalmente [math] \ nabla [/ math] como un vector.

Nota: Esta es mi primera respuesta “intensiva en matemáticas” y realmente no sé cómo usar Latex (es muy probable que haya cometido un error). Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 2

El operador del toma derivadas parciales en tres dimensiones. Cuando se toma como un producto escalar con una función, encuentra su divergencia. En los términos más simples que se me ocurren, encuentra la concentración de la gráfica de (en este caso) f @ sus puntos infinitesimales.

fórmula:

[matemática] \ nabla \ cdot f = [/ matemática] [matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} + \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} + \ frac {\ parcial f} { \ parcial z} [/ matemáticas]

Y entonces

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} = y ^ 2 [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} = 2xy + ln (z) * z ^ y [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial z} = yz ^ {y-1} [/ math]

Finalmente:

[matemáticas] \ nabla \ cdot f = y ^ 2 + 2xy + ln (z) * z ^ y + yz ^ {y-1} [/ math]

Answer 3

Bueno, lo que pasa con esta pregunta es que no está redactada de una manera que generalmente se ve. Cuando estamos tratando de encontrar la divergencia de una función vectorial:

[matemáticas] div \ \ vec {f} \ = \ \ nabla \ \ cdot \ \ vec {f} [/ matemáticas]

El problema es que esta función no parece ser un vector, por lo que no podemos decir que siga la forma del teorema de divergencia. Si desea encontrar el gradiente de esta función multivariable, no estamos utilizando el producto punto, sino que estamos aplicando el operador [math] \ nabla [/ math] a la función. Si esto es lo que quiere decir, entonces el gradiente de esta función será:

[matemáticas] \ nabla \ f (x, y, z) \ = \ \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ f (x, y, z) \\ \ dfrac {\ partial} {\ partial y} \ f (x, y, z) \\ \ dfrac {\ partial} {\ partial z} \ f (x, y, z) \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ nabla \ xy ^ 2 \ + \ z ^ y \ = \ \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ xy ^ 2 \ + \ z ^ y \\ \ dfrac {\ parcial} {\ partial y} \ xy ^ 2 \ + \ z ^ y \\ \ dfrac {\ partial} {\ partial z} \ xy ^ 2 \ + \ z ^ y \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ nabla \ xy ^ 2 \ + \ z ^ y \ = \ \ begin {bmatrix} y ^ 2 \\ 2xy \ + \ z ^ y (\ ln \ z) \\ yz ^ {y – 1} \ end {bmatrix} [/ math]

Answer 4

Esa es una pregunta extraña. La idea de una divergencia solo se define para los campos vectoriales. Esto se debe a que el operador del, [math] \ nabla [/ math], se define en las coordenadas cartesianas como:

[matemáticas] \ nabla = \ frac {\ partial} {\ partial {x}} \ boldsymbol {x} + \ frac {\ partial} {\ partial {y}} \ boldsymbol {y} + \ frac {\ partial} {\ partial {z}} \ boldsymbol {z} [/ math] donde [math] \ boldsymbol {x} [/ math] es un vector unitario que apunta en la dirección [math] + x [/ math], [math ] \ boldsymbol {y} [/ math] es un vector unitario que apunta en la dirección [math] + y [/ math], y [math] \ boldsymbol {z} [/ math] es un vector unitario que apunta en [ matemáticas] + z [/ matemáticas] -dirección. Entonces, el operador del es un vector (bueno, técnicamente es un operador de vector porque tiene que operar en algo). La divergencia de un campo vectorial continuo y diferenciable, [math] \ boldsymbol {F} [/ math] puede considerarse como el producto de punto de [math] \ nabla [/ math] y [math] \ boldsymbol {F} [/matemáticas]. Entonces, en este caso, dado que [math] f (x, y, z) = xy ^ 2 + z ^ y [/ math] es una función escalar, entonces no tiene una divergencia.

Ahora, si, por alguna razón, esta pregunta solicitaba el gradiente de [math] f [/ math], entonces es un poco más difícil. El gradiente de una función escalar continua, diferenciable se define como:

[matemáticas] \ nabla {f} = \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} \ boldsymbol {x} + \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ boldsymbol { y} + \ frac {\ partial {f}} {\ partial {z}} \ boldsymbol {z} [/ math]

Como puede ver, tomar el gradiente de una función escalar produce una función vectorial. Entonces, todo lo que tenemos que hacer ahora es tomar algunos derivados.

[matemáticas] \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} = y ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} = 2xy + z ^ yln (z) [/ math]

[math] \ frac {\ partial {f}} {\ partial {z}} = yz ^ {y-1} [/ math]

Entonces, poner todo esto junto produce:

[matemáticas] \ nabla {f} = (y ^ 2) \ boldsymbol {x} + (2xy + z ^ yln (z)) \ boldsymbol {y} + (yz ^ {y-1}) \ boldsymbol {z} [/matemáticas]

Answer 5

La divergencia es la suma de las derivadas parciales wrt x, y, z:

div F (x, y, z) = Fx + Fy + Fz

div f = y ^ 2 + 2xy + z ^ y. En z + y. z ^ (y-1)

Answer 6

* A2A

Si te refieres a la divergencia de un campo vectorial …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} F (x, y, z) & = xy ^ 2 + z ^ y \\\\\ mathrm {div} (F) & = \ nabla \ cdot F \ \ & = \ dfrac {\ partial F} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial F} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial F} {\ partial z} \\ & = y ^ 2 + ( 2xy + z ^ y \ ln z) + yz ^ {y-1} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Si quisieras tomar el gradiente de una función vectorial …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} f (x, y, z) & = xy ^ 2 + z ^ y \\\\\ mathrm {grad} (f) & = \ nabla (f) \ \ & = \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x}, \ dfrac {\ partial f} {\ partial y}, \ dfrac {\ partial f} {\ partial z} \ right) \\ & = (y ^ 2,2xy + z ^ y \ ln z, yz ^ {y-1}) \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Answer 7

Esto ayudará