No vi ninguna prueba general de la pregunta, así que esto es todo.
Editar: se me ocurrió una prueba mucho más simple, así que la simplifiqué.
La idea es simplemente dividir la suma entre números pares e impares.
Si n es par, dividimos la suma:
- Cómo demostrar que Z * p es un grupo cíclico
- Cómo integrar sqrt (1-lnx ^ 2) / (x * ln (x))
- ¿Cómo podría diseñarse una función cuadrática de manera que no posea un valor mínimo o máximo?
- ¿Cómo simplificarías [matemáticas] (\ sin x- \ cos x) ^ 2-2 \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x [/ matemáticas]?
- Cómo mostrar que [math] \ displaystyle \ ln (1 + x) = x- \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {3} x ^ 3 + \ cdots [/ math] usando secuencias geométricas
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = \ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} 2i – \ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} ( 2i – 1) [/ matemáticas]
Entonces, podemos eliminar los términos dependiendo de i:
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = \ color {rojo} {\ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} 2i – \ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} 2i} – \ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} (- 1) [/ math]
Y entonces :
[matemáticas] \ color {azul} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = – \ sum_ {i = 1} ^ {n / 2} (- 1) = \ frac {n } {2}} [/ matemáticas]
Si n es impar, seguimos el mismo patrón pero dividido de manera ligeramente diferente:
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ ii = \ sum_ {i = 0} ^ {(n -1) / 2} 2i – \ sum_ {i = 0} ^ {(n-1) / 2} (2i + 1) [/ matemáticas]
Luego :
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = \ color {rojo} {\ sum_ {i = 0} ^ {(n-1) / 2} 2i – \ sum_ {i = 0} ^ {(n-1) / 2} 2i} – \ sum_ {i = 0} ^ {(n-1) / 2} (1) [/ math]
Y finalmente :
[matemáticas] \ color {azul} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ ii = – \ sum_ {i = 0} ^ {(n-1) / 2} (1) = – (\ frac {n-1} {2} + 1) = – \ frac {n + 1} {2}} [/ math]
Para n = 99, obtenemos: [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {99} (- 1) ^ ii = – \ frac {99 + 1} {2} = -50 [/ matemáticas]