Comencemos con esto:
[matemáticas] a ^ x = y [/ matemáticas]
Ahora, toma [math] \ log_b [/ math] de ambos lados:
[matemáticas] \ log_b {a ^ x} = log_b {y} [/ matemáticas]
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Recuerda las reglas de los logaritmos, específicamente
[matemáticas] \ boxed {\ log_b {a ^ c} = c \ cdot \ log_b {a}} [/ math]
Entonces, podemos expandir nuestra expresión anterior a:
[matemáticas] x \ cdot \ log_b {a} = \ log_b {y} [/ matemáticas]
Ahora divida ambos lados entre [math] \ log_b {a} [/ math]:
[matemáticas] x = \ frac {\ log_b {y}} {\ log_b {a}} [/ matemáticas]
También podemos resolver [math] x [/ math] simplemente usando [math] \ log_a [/ math]:
[matemáticas] a ^ x = y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ log_a {a ^ x} = \ log_a {y} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ log_a {y} [/ matemáticas]
Aplicando la propiedad transitiva obtenemos:
[matemáticas] \ boxed {\ frac {\ log_b {y}} {\ log_b {a}} = \ log_a {y}} [/ math]
QED